No.1ベストアンサー
- 回答日時:
sinA + sinB + sinC =1
2倍角の公式により、
sinA=sin 2(A/2)=2sin A/2 cos A/2
和積の公式により、
sinB + sinC =2sin (B+C)/2 cos (B-C)/2
=2sin (180°-A)/2 cos (B-C)/2
=2sin (90°-A/2) cos (B-C)/2
=2cos A/2 cos (B-C)/2
これより、
sinA + sinB + sinC
=2sin A/2 cos A/2+2cos A/2 cos (B-C)/2
=2 cos A/2 {sin A/2+cos (B-C)/2}
=2 cos A/2 [sin {180°-(B+C)}/2+cos (B-C)/2]
=2 cos A/2 [sin {90°-(B+C)/2}+cos (B-C)/2]
=2 cos A/2 {cos (B+C)/2+cos (B-C)/2}
和積の公式により、
cos (B+C)/2+cos (B-C)/2=2cos {(B+C)/2 + (B-C)/2}/2 cos {(B+C)/2 - (B-C)/2}/2
=2cos B/2 cos C/2
よって、
sinA + sinB + sinC=(2 cos A/2)(2cos B/2 cos C/2)=4 × cos A/2 × cos B/2 × cos C/2
sinA + sinB + sinC =1より、
4 × cos A/2 × cos B/2 × cos C/2 = 1
したがって、
cos A/2 × cos B/2 × cos C/2 = 1/4
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