三角関数を含む積分について

どなたかこの積分を解ける方がいらっしゃいましたら教えていただけませんでしょうか？
t=tan(theta/2)で置換したら解けると思ったのですが、歳のせいか行き詰まってしまいました。
cとdは正の数です。

よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/09 16:50

t = tan(θ/2) の置換で解けることは、保証されてはいるけれど、

答えに至るまでの計算は、そこそこ大変そう。
問題の被積分関数中に θ が (cosθ)^2 でだけ含まれている
ことを考えると、倍角公式を使って (cosθ)^2 = { cos(2θ) + 1 }/2
で置き換えた後、同じ手法で分数式の積分へ帰着しようとすれば、
u = tan(2θ/2) で置換することになる。
こっちのほうが計算が簡単そうだろうという予測はつく。

u = tanθ と置くと、
du/dθ = 1/(cosθ)^2 と
1 + u^2 = 1 + (tanθ)^2 = 1/(cosθ)^2 から

∫{ c/( c^2 + b(cosθ)^2 ) }dθ　　　　　　　　　　　； 係数 d は紛らわしいので、一旦 b にしておく
= ∫{ c/( c^2 + b(cosθ)^2 ) } (cosθ)^2 du　　　　　　； dθ を消す
= ∫{ c/( c^2 + b/(1 + u^2 ) ) }{ 1/(1 + u^2) }du　　　　； cosθ を消す
= ∫{ c/( (c^2+b) + (c^2)u^2 ) }du　　　　　　　　　　； 分数を整理
= ∫{ (a^2/c)/( 1 + (a^2)u^2 ) }du　　　　　　　　　　； a = c/√(c^2+b) 置く
= ∫{ (a^2/c)/( 1 + (tanφ)^2 ) }{ (1/a)/(cosφ)^2 }dφ　； au = tanφ で置換
= (a/c)∫dφ
= (a/c)φ + (積分定数).

θ,u,φ の対応は
θ　　　0　　　π/2
u　　　 0　　　　1
tanφ　 0　　　　a
φ　　　0　　　　arctan(a)
となるので、

求める値は
[ (a/c)φ ]_(θ=0...π/2) = [ (a/c)φ ]_(φ=0...arcran(a)) = arcan(a)
= arctan( c/√(c^2+b) ).
ああ、もともとは arctan( c/√(c^2+d) ) だったか。

この回答へのお礼

詳しい導出までありがとうございます。非常に参考になりました！
一つ確認ですが、uの積分範囲は、0 ~ ∞ですよね？

この問題には、物理的な背景があり、0 ~ ∞とした場合、現象論をきれいに記述することができました！

お礼日時：2020/09/10 05:47

No.4 回答者： springside 回答日時： 2020/09/09 23:04

No.3です。

定積分については、No.3に示した積分サイトでは計算できなかったので、
Mathematicaに計算させたら、以下のようになりました。

この回答へのお礼

何度もありがとうございます！

お礼日時：2020/09/10 05:50

No.3 回答者： springside 回答日時： 2020/09/09 23:02

こういうのはコンピューターにやらせるのが一番。

下記のページでその式を書き込んで「Go」すれば答えが出る。
（「Show steps」を押せば、置換などの計算過程も表示される）

ちなみに、不定積分は下図になるが(変数をθではなくxにしてある）、
定積分ではtan(π/2)が登場するようなので、うまく極限計算をして下さい。

https://www.integral-calculator.com/

この回答へのお礼

便利なサイトを教えていただき、ありがとうございます。
今度から使ってみますね。

お礼日時：2020/09/10 05:49

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/09/09 17:02

・答不定積分から始めます

∫c/(c^2+dcos^2θ)dθ=∫1/(c+d/c*cos^2θ)dθ
=∫1/(c+d/c*cos^2θ)*1/(d/c cos^2θ)/ 1/(d/c cos^2θ)dθ・・①
① でu=c/d*tanθとして
du= c/d*1/cos^2θ*dθ
u^2=sin^2θ/cos^2θ(c/d)^2={(1/cos^2θ-1) (c/d)^2}
(du/c)^2+1=1/cos^2θ
① =c/d∫1/(c^4/d^3*u^2+2)*du
= c/2d∫1/(1/2*c^4/d^3*u^2+1)*du
1/√2 *c^2√d^3u=t と置く
1/√2*c^2√d^3du=dt , du=√2*c^2√d^3dt
よって、
=√2*c^2√d^3* c/2d∫1/(t^2+1)*dt=c^3√d* c/√2∫1/(t^2+1)*dt
=c^4√d/√2*arctant+C
= c^4√d/√2*arctan(1/√2 *c^2√d^3u )+C
= c^4√d/√2*arctan(1/√2 *c^2√d^3(c/d*tanθ)+C
= c^4√d/√2*arctan(1/√2 *c^3√d(tanθ)+C
定積分[0-π/2]はc^4√dπ/2√2・・答え

この回答へのお礼

こちらも詳しい回答、ありがとうございます。
タッチの差ですが、ベストアンサーは先の方を選ばせていただきました。

お礼日時：2020/09/10 05:49