微分の過程を教えてください。
【問題】
物体の位置が次で与えられるとき、物体の速度と加速度を求めよ。
⑴ x(t)=x₀e^(-γt) sin(ωt+σ) (x₀、γ、ω、σは定数)
⑵ y=blnct (t≧1で、b、cは定数)
⑶ r(t)=bcosωti+csinωtj (b、c、ωは定数)
【解答】
⑴ v(t)=-x₀e^(-γt) {γsin(ωt+σ)-ωcos(ωt+σ)}
a(t)=x₀e^(-γt) {(γ²-ω²)sin(ωt+σ)-2γωcos(ωt+σ)}
⑵ v(t)=b/t
a(t)=-b/t²
⑶ v(t)=-bωsinωti+cωcosωtj
a(t)=-ω²(bcosωti+csinωtj)
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(1)は積の微分
v(t)=dx(t)/dt
=-x0γe^(-γt)sin(ωt+σ)+x0ωe^(-γt)cos(ωt+σ)
=-x0e^(-γt)(γsin(ωt+σ)-ωcos(ωt+σ))
a(t)=dv(t)/dt
=x0γe^(-γt)(γsin(ωt+σ)-ωcos(ωt+σ))-x0e^(-γt)(γωcos(ωt+σ)+(ω^2)sin(ωt+σ))
=x0e^(-γt)((γ^2)sin(ωt+σ)-γωcos(ωt+σ)-γωcos(ωt+σ)-(ω^2)sin(ωt+σ))
=x0e^(-γt)((γ^2 - ω^2)sin(ωt+σ) - 2γωcos(ωt+σ))
(2)は自然対数の微分
v(t)=b/t
a(t)=-b/t^2
(3)は三角関数の微分
v(t)=-bωsinωti+cωcosωtj
a(t)=-b(ω^2)cosωti-c(ω^2)sinωtj
=(-ω^2)(bcosωti+csinωtj)
No.2
- 回答日時:
(1) uもvもtの関数だった場合、(u*v)' = u'*v + u*v'が公式となる。
u = e^(-γt)
v = sin(ωt+σ)
として考えて、まずは一階微分を求める。
同様の考え方で微分を進めれば良い。
(2) uをtの関数とする時、dy/dt = (dy/du)*(du/dt) である。
y = b * ln|u|
として考えよ。
二階微分はフツーの性感吸う、もとい、整関数の微分のまま、である。
(3) (2)と同じ。
r(t)=bcos(u)+csin(u)
として考えれば良い。
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それはわかっています。私の質問は1分目の通り、どう微分すれば解答のようになるのかが知りたいのです。