偏微分方程式の解き方を教えていただけないでしょうか。

u_t (ｔの一階微分） = u_xx (ｘの二階微分）
x∈[0,1]のとき、
境界条件
u_x(0,t)=0 、u(1,t)＝5t
（↑ｘの一階微分）

初期条件が、
u(x,0)=0


自分で
_____________________
du/dt = d^u/dx^2
x∈[0,1]

du/dx(0,t)=0 、u(1,t)＝5t
u(x,0)=0

のとき、変数を分離して、
u=(X,Y)

X''=-λXとしました。
X＝c1 cos(√(λ) x) +c2 sin(√(λ) x) として、
X’＝√(λ) ＊（ーc1 sin(√(λ) x) +c2 cos(√(λ) x) ）
境界条件をいれると、
X’(0)＝√(λ) ＊（ーc1 sin(√(λ) 0) +c2 cos(√(λ) 0) ）
より ｃ２＝０

X（１）＝c1 cos(√(λ)*１) +c2 sin(√(λ)*１) =5t
c1*cos(√(λ)*１) =5t
____________________________
時計さんをしてみたのですが、５ｔの扱い方がわからず、躓いてしまいました。

詳しい方、どうか計算方法をおしえていただけないでしょうか。

質問者からの補足コメント

• ご回答本当にありがとうございます。
  何度も申し訳ございません。下のように解かせて頂いたのですが、
  特殊解(５ｔ)は、ｎに５を代入した時の答えと考えているのですが、合っていますでしょうか。
  また、青いペンで線を引いてある部分について、sin 関数を微分するために、境界条件をｘで微分する、というのは可能なのでしょうか。
  
  何度も申し訳ないのですが、教えて頂けると本当に助かります。
  詳しく書いてあるウェブサイトなどでも嬉しいです。恐縮ですが、教えていただけないでしょうか。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/23 15:52

• 何度も申し訳ありません。ようやく理解できたと感じております。
  申し訳ないのですが、解法が合っているか見て頂けないでしょうか。
  
  v(x,t)=u(x,t)-5 とし、dv/dt=du/dt-5, d^2v/dx^2=d^2u/dx^2
  cos の関数を使い、
  v(x,t)=A_0(t)+Σ[n=1 -> ∞] A_n(t) * cos(n*pi*x)
  dv/dt=(A_0(t))'+Σ[n=1 -> ∞] (A_n(t))' * cos(n*pi*x)
  d^2v/dx^2=Σ[n=1 -> ∞] A_n(t) *(-n^2*pi^2)* cos(n*pi*x)
  
  u_t=u_xxに代入をすると、
  dv/dt+5=d^2v/dx^2

    補足日時：2020/10/24 04:53

• (A_0(t))'+Σ[n=1 -> ∞] (A_n(t))' * cos(n*pi*x)+5 = Σ[n=1 -> ∞] A_n(t) *(-n^2*pi^2)* cos(n*pi*x)
  左辺にまとめると、
  
  (A_0(t))'　+ Σ[n=1 -> ∞] [((A_n(t))'+A_n(t) *(n^2*pi^2))]* cos(n*pi*x)=-5
  それぞれ、係数を比較して
  
  (A_0(t))' = 0
  (A_0(t)) = c_0
  (A_0(0)) = c_0=0
  
  
  一般解
  ((A_n(t))'+A_n(t) *(n^2*pi^2))=０
  A_n (t)＝c_1 * exp{ (-n^2*pi^2)*t }
  A_n (0)＝c_1 * exp{ (-n^2*pi^2)*0 }=0
  c_1=0

    補足日時：2020/10/24 04:53

• 特殊解
  ((A_5(t))'+A_5(t) *(5^2*pi^2))=-5
  
  A_n (t)= c_5*exp{ (-25*pi^2)*t } - (5/(25*pi^2))
  
  A_n (0)= c_5*exp{ (-25*pi^2)*0 } - (1/(5*pi^2))=0
  c_5 - (1/(5*pi^2))=0
  c_5=(1/(5*pi^2))
  より、
  v(x,t)=A_5(t) * cos(5*pi*x)
  v(x,t)=(1/(5*pi^2)) * cos(5*pi*x)
  
  よって、
  
  u(x,t)=(1/(5*pi^2)) * cos(5*pi*x) + 5
  
  という解答が出ました。
  申し訳ないのですが、合っているか、確認して頂けないでしょうか、
  宜しくお願いいたしますm(_ _)m

    補足日時：2020/10/24 04:54

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2020/10/23 14:40

Fourier 解析の勉強を一度きちんとしてください。

境界条件が斉次じゃないから，ご質問文にある方法だけではうまくいかないでしょう。だって固有値問題にならないから，固有値λと固有関数X(x)が求められない。例えばv(x,t)=u(x,t)-5t と置くと，v(x,t)についての問題は
dv/dt+5=d^2v/dx^2
と境界条件 dv/dx(0,t)=0, v(1,t)=0，初期条件v(x,0)=0
になるから，X(x)についての分離された問題が固有値問題になる。そうすれば固有値λが（まずはλが正なのか負なのかゼロも含むのかを確認しないといけないが）無数個λ_n (n=1,2,・・・・)と固有関数が多分cosine関数で
X_nで求められるから，解を
v(x,t)=Σ c_n(t) X_n(x)
のFourier級数で仮定して，非斉次項の 5 に対する特殊解と，初期条件を満足させるために，固有関数の直交条件つまり内積がゼロの条件から，c_n(t)に対する微分方程式と初期条件を求めて，それを解けばいいだけ。標準的な問題です。