位相の概念は、n次元ユークリッド空間以外でも考えられますか？？ それとも、位相とはn次元ユークリッド

位相の概念は、n次元ユークリッド空間以外でも考えられますか？？
それとも、位相とはn次元ユークリッド空間のみの話ですか？
n次元ユークリッド空間⊂距離空間ということは分かりますが、位相空間はどこに位置づけられるのでしょうか？？

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2021/05/04 08:44

集合に「開集合」を追加したら、位相空間になるのでは？

距離から導かれる位相が定義できるので、

n次元ユークリッド空間　⊂　距離空間　⊂　位相空間

という位置づけですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/05/06 16:00

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/03 19:59

n次元ユークリッド空間以外にもありますよ。

n次元ユークリッド空間 ⊂ 距離空間 ⊂ 位相空間 ですからね。

おそらく最もありふれた例は、関数空間でしょうか。
実区間 x∈[a,b] で定義された関数 f(x) のうち
∫[a,b]f(x)²dx が収束するものの集合 L に
内積 f・g = ∫[a,b]f(x)g(x)dx を導入すると、
この内積が誘導する距離 dist(f,g) = √{ ∫[a,b](f(x)-g(x))²dx } によって
L は「無限次元の」距離空間になります。

毛色の変わった例としては、こんなのはどうですか？
有限の面積を持つ平面領域がなす集合に
「二つの領域の排他的論理和の面積」という距離を導入すると、
これも距離空間になります。

この回答へのお礼

何度か読み返してみました。
また学習を進めてみて、戻ってきます。
ありがとうございます。

お礼日時：2021/05/06 15:59