プログラム上でのクリストッフェル記号の値の具体的な計算方法

以下、長文ですみません。
テンソルとか初等的な微分幾何でクリストッフェル記号(以下C記号と略記)があります。サフィックスが３つぐらい出てくるので一見テンソルのように見えるのですが、テンソルの定義に反するところがあり、テンソルではないとのことです。また、第一種、第二種c記号のような分類もあります。
このＣ記号ですが、曲線座標系での力学を考えると必ず出てきます。ベクトル（成分と基底の積の和）を曲線座標に沿って微分すると、基底ベクトル（空間的に変化する）を微分することになりますが、その辺から出てくるようです。
計算力学のようにプログラム化を作成してシミュレートするような場合にどう処理するのか検討しているのですが、Ｃ記号を具体的に計算する方法について文献として示されていないようです。
このC記号の具体的な計算方法がどこかに示されていないかと思うのですが、どうでしょうか。条件設定として、カルテシアン座標（普通の意味での直交座標系）と、この（一般）曲線座標系の変換に必要な数値データが既知であるということを前提とします。つまり、2次元で(x,y)⇔(ξ,η)が双方向に算出できるということになった場合、C記号の各成分(i,j,k)をどう計算するか？ということなのですが。∂x/∂ξとか、∂^2x/∂ξ∂ηとかを計算すればいいのだろうとは思いますが、式の上で計算しにくいところも出てくるのですが。 込み入っていると思いますが、よろしくお願いします。
アインシュタインが執筆している"相対論の意味”には1つの章が流体力学に言及していてそこにはオイラー方程式（NS方程式の非粘性版）が扱われています。その辺と関係あるのかなと思うのですが、私が対象としている実際問題は日常的な流体での曲線座標での問題なのですが。なお、テンソルを使わないで微分の変換則とかベクトルの成分の変換則を使って誘導していく方法もありますが、テンソルを使う方が数学的にはスマートなのだと思いますが（その一方で近似的に無視できるような量までもきっちり評価しようとするのかもしれませんが）。

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2021/05/10 17:19

FlueggeのTensor Aanalysis and Continuum Mechanicsの5.1節にある通りの計算しかできないのでは？基底ベクトルを微分するだけ。

テンソルではない記号ですが，記号間の関係も明らかですし。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。定義どおりに計算すればよし、ということになりそうですが、∂x/∂ξはいいのですが、∂ξ/∂xについては自己流で考えてやれなくもなさそうですが、公式的な方法があるといいと思っていました。メトリックテンソルを使った変数変換とかサフィックス移動の公式がいろいろ出てくるところなので使い方間違ったらまずいのでお尋ねしたところです。
amazonで著者名で検索したら別の著書が出てきました。何とかこの著作にたどり着くようにしてみます。

お礼日時：2021/05/10 23:40