【至急】曲線の弧長パラメータ表示を求めてください_(._.)_

(1)y=ax+b
(2)(1-t^2 /1+t^2, 2t/1+t^2)
(3)極方程式 r =ae^θ
(4)r=a(1+cosθ) (-π<=θ<=π)
一問だけでも解いていただけないでしょうか。よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/06/04 00:13

直交座標系(x,y)なら、曲線を

　　x = f(s), y=g(s)
　　(ds/dp)^2 = (dx/dp)^2 + (dy/dp)^2
と表したいということ。ただし、pは適当なパラメタ。ここで、「適当なパラメタ」というのは 「x=u(p), y=v(p)の形でx,yを曲線全体にわたって一意的に表せる媒介変数p」なら何でも、ということ。なので、色々選ぶ自由度がある。（計算が楽チンになるように選べるとラッキーなわけだけど。）

(1)はp=xと選ぶと良さそう。すなわち、パラメタpによる
　　x = p, y = ap + b
という表示が与えられていると思えば良い。すると
　　dx/dp = 1
　　dy/dp = a
より
　　(ds/dp)^2 = 1 + a^2
だから
　　ds/dp = ±√(1+a^2)
右辺は定数。この微分方程式を解く。右辺は定数だからアホみたいで、
　　s = ±∫ (ds/dp) dp =± (√(1+a^2) ) ∫dp = ± (√(1+a^2) )p + C
ここで、±はどっち向きをsの正方向にするか、Cはどこを出発点s=0にするか、という自由度なんで、（ご質問の場合にはその指定がないから）どうであってもいい。例えば±は+でC=0と決めれば、
　　s =(√(1+a^2) )p
これをpについて解くと
　　p = s/√(1+a^2)
あとはパラメタpで表されたx,yの式に代入するだけ。
　　　x = s/√(1+a^2), y = as/√(1+a^2) + b
　ちょっと注意すべきは、sは「弧長」だとは言うものの、負の値も取りうる、という点。(1)の場合なら、x＜0の部分はsも負になるでしょ。

(2)は曖昧だけど、おそらく
　　x =(1-t^2)/(1+t^2), y=2t/(1+t^2)
という意味かな。何だい、
　　x^2 + y^2 = 1
じゃないか、と気付ければ、(2)の曲線ってのは単位円のことだから計算するまでもなく、
　　x = cos(s), y=sin(s)
と答が出るわけだが、そこは気がつかなかったとするとどうか。
最初からパラメタ表示されているのだから、素直にp=tと選ぶと、
　　dx/dp = -4p/(1+p^2)^2
　　dy/dp = -2(1-p^2)/(1+p^2)^2
を使って
　　 (ds/dp)^2 = 4/(1+p^2)^2
より
　　ds/dp = ±2/(1+p^2)
　　s = ±2∫(1/(1+p^2))dp = ±2arctan(p) + C
たとえば±は+でC=0と決めれば
　　p = t = tan(s/2)
これを x, yに代入する。（代入して三角関数と格闘する前に、あれ？x,yは弧長sの周期関数？曲線が閉じてるってこと？ん？もしかして？という疑問が持てるといいけどね。）

(3)(4) 極座標系(r,θ)では
　　r = f(s), θ=g(s)
と表したい。これを
　　x = r cosθ, y = r sinθ
と直交座標系(x,y)で表せば(1)(2)と同じ話になり、x,yがsの関数として表せれば、r,θも
　　r =√(x^2 + y^2)
　　θ = arctan(y/x) or θ = arccot(x/y)
を使ってsの関数として表せる。でも、わざわざx,yを経由しないでも
　　dx/dp = (d/dp)(r cosθ) = (dr/dp)cosθ - r(dθ/dp)(sinθ)
　　dy/dp = (d/dp)(r sinθ) = (dr/dp)sinθ + r(dθ/dp)(cosθ)
なので
　　(ds/dp)^2 = (dx/dp)^2 + (dy/dp)^2
　　= (dr/dp)^2 + (r(dθ/dp))^2
でやればOK。
　で、(3)(4)の場合、
　　p=θ
と選べば良さそうかな。計算ぐらいは自分でやりなされ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！頑張ってみます！！

お礼日時：2021/06/04 12:03

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/06/03 18:02

じゃあ一番簡単な (1)

起点は x = 0 で s = 0 とすると
ds = √{(dx)^2 + (dy)^2}=√(1+a^2)・dx
s = √(1+a^2)・s → x = {1/√(1+a^2)}s

だから, y = {a/√(1+a^2)}s + b

この回答へのお礼

めっちゃ助かります。ありがとうございます！！

お礼日時：2021/06/03 19:35