三次方程式p(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)の変形の仕方についてですp(x)はα、β、γの３

三次方程式p(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)の変形の仕方についてですp(x)はα、β、γの３つを解に持ちます。
αを解に持つため因数定理からp(x)=(x-α)Q(x)、βを解に持つためp(x)=(x-α)(x-β)Q(x)、γを解に持つためp(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)最後にx^3の係数aをつけてp(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)という方法であってますかね？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/26 21:36

「α、β、γの３つを解に持ちます」は、言葉を端折りすぎて意味不明瞭です。

例えば α = β だったら、 p(x) = (x-α)(x-γ)(x-δ)a かもしれないですよね。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/26 14:32

No.1 です。

＞「p(x) = 0 は α、β、γ の３つを解に持ちます」
といえばそうなりますが。

と書きましたが、「そうなる」のは最後の
　p(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)
だけであって、途中はダメです。

p(x) が三次式で、p(x) = 0 がαを解に持つなら
　p(x) = (x - α)Q(x)
で、Q(x) は二次式です。

次に、p(x) = 0 がβを解に持つなら
　p(x) = (x - β)R(x)
で、R(x) は二次式です。
当然 Q(x) ≠ R(x) です。

p(x) = 0 がαとβを解に持つなら
　p(x) = (x - α)(x - β)S(x)
で、S(x) は一次式です。
上との関係でいえば
　Q(x) = (x - β)S(x)
　R(x) = (x - α)S(x)
です。

さらに、p(x) = 0 がαとβとγを解に持つなら、定数を a として
　p(x) = a(x - α)(x - β)(x - γ)
と書けます。
上との関係でいえば
　S(x) = a(x - γ)
です。

上の例でいえば、
Q(x), R(x) はそれぞれ二次式で、 Q(x) ≠ R(x) です。
S(x) は一次式です。
a は定数です。
それぞれ別ものであり、同じものではありません。
従って、同じ記号で書いてはいけません。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2022/03/26 14:10

P(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)=0 の式は、x=α, β, γ の3つを解に持つことです。

P(x)=ax³+bx²+cx+d=0 が α を解に持つなら P(x)=a(x-α)Q(x)=0 で、
更に β を解に持つには P(x)=a(x-α)(x-β)R(x)=0 です。
P(x) が 3次式で γに持つならば R(x)=x-γ となります。
つまり、P(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)=0 です。

「αを解に持つため因数定理からp(x)=(x-α)Q(x)」としたならば、
「βを解に持つためp(x)=(x-α)(x-β)Q(x)」と
同じ Q(x) を使うのは 間違いです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/26 12:56

＞p(x)はα、β、γの３つを解に持ちます。

「p(x)=0 は」ですよね？

＞という方法であってますかね？

って、何をしたいのですか？
「p(x) = 0 は α、β、γ の３つを解に持ちます」
といえばそうなりますが。