関数の不定積分 sin2 x cos4 x を教えてください

関数の不定積分

sin2 x cos4 x
を教えてください

質問者からの補足コメント

• sin²ⅹcos⁴ⅹ です

    補足日時：2022/10/19 15:00

No.7 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2022/10/19 17:19

sin²ⅹcos⁴ⅹをsin²2xと1＋cos2xの積の形にして展開して

sin²2xの項は半角公式でcos4xの式になおして積分
sin²2xcos2xの項はsin2x＝ｔと置いて置換積分。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
すごく参考になりました。

お礼日時：2022/10/21 22:20

No.6 回答者： スギ-C2H5OH 回答日時： 2022/10/19 15:40

まず、三角関数の加法定理から（この4個は50年以上記憶）

　(1)　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
　(2) 　　　 -　　　　　　　-
　(3)　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
　(4)　　　　-　　　　　　　+　　　
(1)+(2)　sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ　※１
　 -　　　　　　　 -　　　　　=2cosαsinβ　※２
(3)+(4)　cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ　※３
　 -　　　　　　　 -　　　　　=-2sinαsinβ　※４
　（さすがに、※１～４、覚えてないので導いてから）
和⇔積、これでよかったですかね。

で、(sin2x)･(sin4x)ならば、※４を適用して
　　右辺から左辺へ、α=2x，β=4x　　特に符号！！
　(sin2x)･(sin4x)=(-1/2){cos(2x+4x)-cos(2x-4x)}
　　　　　　　　=(1/2)(cos2x-cos6x)

いやいや、sin^2(x)･cos^4(x)ですか・・。
　　　　　　　(sinxの2乗)と(cosxの4乗)の積
　倍角：cos2x=1-sin^2(x)　で　sin^2(x)をcos2xの式。
　cos^4(x)は、cos2x=2cos^2(x)-1　で　cos^2(x)をcos2xに
　　してから、両辺2乗して　cos2xの2次式になり
　　もう一回倍角公式・・・
　結局　sin^2(x)=(1/2)(1-cos2x)
　　　　cos^4(x)=(1/8)･(1+cos4x)＋(1/2)･(cos2x)＋1/4
　この積なので、※３利用でcos6xやcos2xの和になりますかね。
　cos^2(2x)も出てきそうですが、倍角でcos4xになりますかね。

もたもたしてたら、No.5積分計算やっておられますね。
70歳のジジイ、和差で時間かかって、入力にさらにもたついて
力尽きました。和差を徹底して2乗排除してから積分計算の方針。
あとはよろしく・・・。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
歳を重ねても勉学に励みます。

お礼日時：2022/10/21 22:22

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/19 15:21

以下で

　sinxcosx=sin(2x)/2
　cos²(x)=(1+cos(2x))/2
　sin²(x)=(1-cos(2x))/2
を使う。

　∫sin²(x)cos⁴(x)dx=∫{(1/2)sin(2x)}²cos²(x)dx
　= (1/4)∫{sin(2x)}²(1+cos(2x))/2 dx
　= (1/8)∫[ {sin(2x)}²+{sin(2x)}²cos(2x) dx
　= (1/8)[ ∫{1-cos(4x)}/2 dx + ∫{sin(2x)}²cos(2x) dx ]

第２項を u=sin(2x) として、変数変換すると cos(2x)dx=du/2
だから

　= (1/8)[ ∫{1-cos(4x)}/2 dx + ∫u²du/2 ]
　= (1/16)[ {x-sin(4x)/4} + (1/3)u³ ]
　= (1/16)[ x-sin(4x)/4 + (1/3)(sin(2x))³ ]

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2022/10/21 22:22

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2022/10/19 15:01

No.3 です。

あら失礼「積分」ね？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/10/19 15:00

「かけ算記号」なのか「変数エックス」なのか区別がつかない。

多分
　y = sin(2x)･cos(4x)
なのでしょうね。
微分する前に「三角関数の倍角の公式」などを使って変形するやり方もあると思いますが、ここでは「直接微分」してみます。

まずは
　f(x) = sin(2x)
とすれば
　u = 2x　　　　①
とおけば
　f(u) = sin(u)
これを u で微分するのはできるでしょう？
　df/du = cos(u)　　　　②
実際には「x で微分」したいのですが、その場合には
　df/dx = (df/du)(du/dx)
とすればよいのは、「合成関数の微分」で知っていますね？
https://manabitimes.jp/math/936

①より
　du/dx = 2
ですから、②を使って
　df/dx = (df/du)(du/dx) = 2cos(u) = 2cos(2x)

同様に
　g(x) = cos(4x)
とおけば
　dg/dx = -4sin(4x)
になるのはよいですね？

あとは「積の微分」
https://manabitimes.jp/math/1079
を使えば、求めるものは

　y' = [sin(2x)]'･cos(4x) + sin(2x)･[cos(4x)]'
　　= 2cos(2x)･cos(4x) + sin(2x)･[-4sin(4x)]
　　= 2cos(2x)･cos(4x) - 4sin(2x)･sin(4x)

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/19 14:52

sin(2x)cos(4x) ですか

sin²(x)cos⁴(x) ですか

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2022/10/19 14:40

積を和と差の形に直す。