１次関数の最大と最小

Question

関数 f(x)= │x-1│+ │x-4│+ │x-a│ について
(1) f(x) ≧3 を証明せよ
(2) 0≦x≦5 における f(x)の最大値が 8 になるように a の値を定めよ

Arima01 · Accepted Answer

元々、示したかったのは、
『|x-1| + |x-4| + |x-a| ≦ 8 かつ等号が成り立つxが存在する』
でしたよね。

そこで、
g(x) = |x-1| + |x-4|
h(x) = 8 - |x-a|
『g(x) ≦ h(x) かつ等号が成り立つxが存在する』
と問題を書き換え、分かりやすくしましたよね。

つまり、
『グラフh(x)はどのxにおいても、常にグラフg(x)より上側にある』が
『g(x) ≦ h(x)』と対応しており、『|x-1| + |x-4| + |x-a| ≦ 8』と等価です。

『f(x) ≦ 8ならf(x)の最大値は8である』
この命題は間違いであり、最大値は7かもしれません。

最大値を示すには、
『f(x) ≦ 8かつf(x)=8となるxが存在する』
を示す必要があります。

つまり、
『グラフh(x)が常にg(x)の上側にあり、h(x)=g(x)となる点が存在する』
と言うことです。

h(x)=g(x)となる点は、x=0, 5の二箇所です。
その際、a=3, 2である。

よろしくです。。。。。 · Answer

(1) f(x) ≧ 3 を証明するためには、以下の2つの場合を検討する必要があります。

x < 1の場合
f(x) = -(x-1) - (x-4) - (x-a)
= -3x + a + 5
1 ≦ x < 4の場合
f(x) = (x-1) - (x-4) - (x-a)
= -2x + a + 3
4 ≦ xの場合
f(x) = (x-1) + (x-4) - (x-a)
= 2x - a - 3
これらの式から、それぞれの区間においてf(x)の最小値を求めます。

x < 1の場合
f(x)の最小値は、xが-a未満の場合は -3x + a + 5, xが-a以上の場合は -a + 4となります。
これらの式から、x < 1かつxが-a未満の場合は、-3x + a + 5が最小値となり、x < 1かつxが-a以上の場合は、-a + 4が最小値となります。
1 ≦ x < 4の場合
f(x)の最小値は、xが-a未満の場合は x - a - 1, xが-a以上かつxが2未満の場合は -x + a + 3, xが2以上の場合は a - 1となります。
これらの式から、1 ≦ x < 2かつxが-a未満の場合は、x - a - 1が最小値となり、1 ≦ x < 2かつxが-a以上かつxが2未満の場合は、-x + a + 3が最小値となり、2 ≦ x < 4かつxが-a未満の場合は、-x + a + 3が最小値となり、2 ≦ x < 4かつxが-a以上の場合は、a - 1が最小値となります。
4 ≦ xの場合
f(x)の最小値は、xが-a未満の場合は 2x - a - 3, xが-a以上の場合は x - a - 3となります。
これらの式から、x ≧ 4かつxが-a未満の場合は、2x - a - 3が最小値となり、x ≧ 4かつxが-a以上の場合は、x - a - 3が最小値となります。
以上より、f(x) ≧ 3は常に成立します。

(2) f(x)の最大値が8になるようにaの値を定めるためには、以下の手順を行います。

1 ≦ x < 4の範囲で、f(x)の最大値をf(x) = |x-1| + |x-4| + |x-a|
f(x)は、x=1, 4, aの3点で連続的に変化します。そのため、以下の場合に分けて考えます。

1 ≦ a ≦ 4の場合
1 ≦ x < 4の範囲で、f(x)は以下のようになります。
f(x) = -(x-1) - (x-4) + (x-a) = -2x + a + 3

これは、aの値によって傾きが変わる1次関数です。aがx=2である場合、f(x)は最大値を取ります。したがって、a=2の場合、f(x)の最大値は8になります。

a < 1の場合
1 ≦ x < 4の範囲で、f(x)は以下のようになります。
f(x) = (x-1) - (x-4) + (x-a) = 2x - a - 3

これは、aが小さいほど傾きが大きくなる1次関数です。したがって、a=1の場合、f(x)の最大値は8になります。

a > 4の場合
1 ≦ x < 4の範囲で、f(x)は以下のようになります。
f(x) = (x-1) + (x-4) + (a-x) = -2x + a + 5

これは、aが大きいほど傾きが小さくなる1次関数です。したがって、a=4の場合、f(x)の最大値は8になります。

以上より、a=2の場合、f(x)の最大値が8になります。

endlessriver · Answer

(2)
a=2,3

endlessriver · Answer

言っているように、素直になりなさい。

ありものがたり · Answer

←補足
問題文だけの質問に対して、
回答者からブロックを掛けることはできないんだよなあ...
削除要請ならできるけど。

(1)
y = ｜x-1｜, y = ｜x-4｜, y = ｜x-a｜ のグラフを並べて
y = f(x) のグラフを考えると、
f(x) の最小値は x が 1, 4, a のうち中央の値をとるとき
であることが判る。
よって、f(x) の最小値を g(a) と置くと、
a ≦ 1 のとき g(a) =  f(1) = 0 + 3 + (1-a) = 4-a,
1 < a < 4 のとき g(a) = f(a) = (a-1) + (4-a) + 0 = 3,
4 ≦ a のとき g(a) = f(4) = 3 + 0 + (a-4) = a-1.
あらためて g(a) のグラフを書いて考えると、
f(x) ≧ g(a) ≧ 3 であると判る。

(2)
(1) で書いた y = f(x) のグラフを見ると、f(x) は下凸になっている。
よって、0 ≦ x ≦ 5 での最大値は、f(0) か f(5) の大きい方である。
最大値が 8 になるのは、
( f(0) = 8 かつ f(5) ≦ 8 )または( f(0) ≦ 8 かつ f(5) = 8 ) のとき。
8 ≧ f(0) = 1 + 4 + ｜a｜　⇔　-３ ≦ a ≦ 3, 等号成立は a = ±3 のとき
8 ≧ f(5) = 4 + 1 + ｜5-a｜　⇔　2 ≦ a ≦ 8, 等号成立は a = 2, 8 のとき
より、
最大値が 8
⇔　( a = ±3 かつ 2 ≦ a ≦ 8 )または( -３ ≦ a ≦ 3 かつ a = 2, 8 )
⇔　a = 3 または a = 2.

ありものがたり · Answer

＞ S(n) =│x-1│+│x-4│+│x-a│
＞ に於いても、階差数列をとって

n と x の関係が判らないが...
今回の f(x) では、x が実数だから
階差をとっても極小は解らないんじゃない？

Arima01 · Answer

f(x) = |x-1| + |x-4| + |x-a|

(1)
a ≦ 1の場合、[a≦1<4]
　x≦a の場合、f(x) = -x+1 - x+4 - x+a = -3x+5+a
　　x=a, a=1 で min 3
　a<x≦1 の場合、f(x) = -x+1 - x+4 + x-a = -x+5-a
　　x=1, a=x で min 3
　1<x≦4 の場合、f(x) = x-1 - x+4 + x-a = x+3-a
　　x=1, a=1 で min 3
　4<x の場合、f(x) = x-1 + x-4 + x-a = 3x-5-a
　　x=4, a=1 で min 6

1 < a ≦ 4の場合、[1<a≦4]
　x≦1 の場合、f(x) = -x+1 - x+4 - x+a = -3x+5+a
　　x=1, a=1 で min 3
　1<x≦a の場合、f(x) = x-1 - x+4 - x+a = -x+3+a
　　x=a, a=1 で min 3
　a<x≦4 の場合、f(x) = x-1 - x+4 + x-a = x+3-a
　　x=a, a=x で min 3
　4<x の場合、f(x) = x-1 + x-4 + x-a = 3x-5-a
　　x=4, a=4 で min 3

4 < aの場合、[1<4<a]
　x≦1 の場合、f(x) = -x+1 - x+4 - x+a = -3x+5+a
　　x=1, a=4 で min 6
　1<x≦4 の場合、f(x) = x-1 - x+4 - x+a = -x+3+a
　　x=4, a=4 で min 3
　4<x≦a の場合、f(x) = x-1 + x-4 - x+a = x-5+a
　　x=4, a=x で min 3
　a<x の場合、f(x) = x-1 + x-4 + x-a = 3x-5-a
　　x=4, a=4 で min 3

よって、min{ f(x) } ≧ 3。

(2) 0≦x≦5 における f(x)の最大値が 8 になるように a の値を定めよ
0 ≦ a ≦ 1の場合、[0≦a≦1<4≦5]
　x≦a の場合、f(x) = -x+1 - x+4 - x+a = -3x+5+a
　　x=0 で max 5+a
　a<x≦1 の場合、f(x) = -x+1 - x+4 + x-a = -x+5-a
　　x=a で max 5-2a
　1<x≦4 の場合、f(x) = x-1 - x+4 + x-a = x+3-a
　　x=4 で max 7-a
　4<x の場合、f(x) = x-1 + x-4 + x-a = 3x-5-a
　　x=5 で max 10-a
0 ≦ a ≦ 1 で最大値が 8 となる a は存在しない。

1 < a ≦ 4の場合、[0≦1<a≦4≦5]
　x≦1 の場合、f(x) = -x+1 - x+4 - x+a = -3x+5+a
　　x=0 で max 5+a
　1<x≦a の場合、f(x) = x-1 - x+4 - x+a = -x+3+a
　　x=1 で max 2+a
　a<x≦4 の場合、f(x) = x-1 - x+4 + x-a = x+3-a
　　x=4 で max 7-a
　4<x の場合、f(x) = x-1 + x-4 + x-a = 3x-5-a
　　x=5 で max 10-a
a = 2, 3 のとき最大値は 8 となる。

4 < a ≦ 5の場合、[0≦1<4<a≦5]
　x≦1 の場合、f(x) = -x+1 - x+4 - x+a = -3x+5+a
　　x=0 で max 5+a
　1<x≦4 の場合、f(x) = x-1 - x+4 - x+a = -x+3+a
　　x=1 で max 2+a
　4<x≦a の場合、f(x) = x-1 + x-4 - x+a = x-5+a
　　x=a で max -5+2a
　a<x の場合、f(x) = x-1 + x-4 + x-a = 3x-5-a
　　x=5 で max 10-a
4 < a ≦ 5 で最大値が 8 となる a は存在しない。

よって、a = 2, 3。

Arima01 · Answer

補足について、
これでも大丈夫だと思いますよ。

細かいことを言うと、
g(x) ≧ h(x) を証明しようとしているのに、g(x) > h(x)になっている。
場合によっては等号条件を示さないといけないので、
1 ≦ a ≦ 4 のとき
g(a) = h(a) = 3
よって、g(x) ≧ h(x)
とかがいるかもしれません。

あと、問題や採点者によってはグラフのみでは正解とならない場合があります。
なぜなら、グラフ上では成り立ってそうだけど実際は成り立っていない場合があるからです。
なので、「右のグラフより」だと少し弱い気がします。
min g(x) = 3
max h(x) = 3
よって、〜〜〜〜
とかなら大丈夫かも。

Arima01 · Answer

補足について、ぜひ一度で全ての疑問を提示して欲しいところだったが、

なぜ(0, 5)と(0, 6)のみが解となり得るのか、言及した方が良さそう。
・(0, 5)より下だと、グラフの左側が比較条件に合わない
・(0, 6)より上だと、グラフの右側が比較条件に合わない
・(0, 5)と(0, 6)の間だと最大値が8にならない
などに言及するのが無難。

次に、
5=8-|0-a|　の解はa=±3ではないのか？
6=8-|0-a|　についても同様。

なぜこれが起こるかというと、(0, 5)や(0, 6)を通る山形のグラフは左にも書けるからだ。
そもそもこれは、一次関数ではないため、点を一つ指定して形状を定めることはできない。

取れる方法は
・(0, 5)と(5, 6)の両方を通る線を求める
・(3, 8)を通る線を求める
の二つだろう。

１次関数の最大と最小

(1) f(x) ≧ 3 を証明するためには、以下の2つの場合を検討する必要があります。

(2)

言っているように、素直になりなさい。

←補足

＞ S(n) =│x-1│+│x-4│+│x-a│

f(x) = |x-1| + |x-4| + |x-a|

補足について、

補足について、ぜひ一度で全ての疑問を提示して欲しいところだったが、

元々、示したかったのは、

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