誤字があり再質問 『平面ベクトルにおいての一次独立の定義』 2つのベクトルが0→ではない。平行でない

誤字があり再質問

『平面ベクトルにおいての一次独立の定義』

2つのベクトルが0→ではない。平行でない



『空間ベクトルにおいての一次独立の定義』

3つのベクトルが0→ではない。同一平面上にない。

このような理解で合ってるでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： BlockedOldManAgain 回答日時： 2023/05/02 07:30

三次元空間のベクトルの一次独立だけを

取り出して記述するなら、それで合っています。
それを、三次元空間においての一次独立の定義
だと言っても、間違いとも言えない。

次元を問わず、一般の線型空間においても
ベクトルの一次独立は定義されます。
その定義を三次元空間に当てはめると、
結果的にあなたの「定義」と同値になる
という意味です。

「このような理解で合ってる」という表現が微妙で
何と返事したものか迷うのですが、
その場合には合ってる、しかし拡張性に乏しく
筋はよくない...とでも言うべきでしょうか。
質問文の定義の延長線上で、四次元以上の
線型空間に対応できるとは考えにくいです。

教科書等によく書かれている一次独立の定義は、
そのベクトルたちの一次結合による表示が一意だ
というものです。数式で表現すれば、
ベクトル b_i (i=1,2,...,n) について、
Σ(x_i)b_i = Σ(y_i)b_i になるスカラー x_i, y_i が
常に x_i = y_i であるとき、{ b_i } は一次独立である
...となります。

記号の個数を減らすために x_i - y_i = c_i と置いて
記述している例が多いですね。

No.1 回答者： kmee 回答日時： 2023/04/29 07:30

「定義」としては間違っています。

○ 一次独立の定義は、
スカラーa1,a2,..,anとベクトルv1,v2,..,vn に対して、
a1 v1 + a2 b2 + ... + an vn = 0→
となる a1,a2,..an が、a1=a2=..=an=0 のみであるとき、v1,v2..vnは一次独立である、という
というものです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B …

この中に、
・どんなベクトル空間が対象なのか?
・ベクトルの個数はいくつなのか?
は含まれていません。

なので、「一次独立な2つの空間ベクトル」といったものが存在します。


○「0ベクトルではない」「平行ではない」「同一平面にない3つの空間ベクトル」といったものは、定義から導き出せる「定理」と言った方がよいでしょう。

例) 0ベクトルではない
vk=0→ とすると、k以外のai = 0, ak≠0 のときに ak vk = 0 より a1 v1 + a2 b2 + ... + an vn = 0→ になるので、一次独立の定義に反する