数学がとても苦手なのです。基本的な問題で申し訳ありません。

同一平面上で、ある点P(PX,PY)が、点A(AX,AY),点B(BX,BY)を結んだ線分AB上に存在する場合、点Pの座標が満たすべき条件を教えてください。

なんとなくは分かるのですが、シンプルに考えることができず、頭の中がごちゃごちゃになってしまいます。

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A 回答 (4件)

一般に平面上に線形独立なベクトルが2つあったとすると、(それぞれ位置ベクトルをa,bとする)


その平面上の任意の点(位置ベクトルをpとする)はすべてそれらの一次結合(線形結合)で表わすことができる。

すなわち、p=αa+βb…(1)(α,βは任意)と簡単に表わせることが出来る。
このαとβに条件がつくと、線分、直線、領域などを表わすことができるのだ。
それについてわからなければ後日にまた質問してもらえればよい。一つだけ言っておくと、覚えるべきは(1)式だけであり、他の条件は線分、直線、領域など特別な場合でさえ自分で導くことが重要だということだ。その後に覚えるなら許されるのだが、初めからこんなもの覚えたところでパラメーターを変えられれば問題が解けなくなるのは、目に見えている。どうか正しく勉強なさいますように。
私は高校生のとき、「大学への数学シリーズ」で勉強していましたが、空間図形とベクトルに関しては「細野真宏の空間図形とベクトルが面白いほどわかる本ハイレベル問題」がおすすめだ。解が気に入らないところもあるが(たとえば点から平面に下ろした垂線の足の座標の求めかた…等)、良書の類であるのは確信できる。
この本を読まずしてベクトルを語るなかれ。
suyasuyaさんの解は正しい。これによると、条件はα+β=1ですね。
ちなみに、「α+β=1かつα≧0,β≧0ならばpは線分AB上」
「0≦α≦1,0≦β≦1ならば、pはOA,OBを二辺とする平行四辺形の周および内部」
「α+β≦1かつα≧0,β≧0ならばpは三角形OABの周および内部」
等々いろいろあるがどれも一つ変えただけでがらっと答えが違うことに注目してほしい。パターン暗記がいかに無意味なことかわかるはずだ。
パターン暗記が通用するのは微積で、一番役に立たないは確率なんだがベクトルは中間に位置しているので勉強方法がわからない人は意外にも多いのかもしれない。
いずれにしても、勉強することがいっぱいあって大変だなということです。

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「…線分AB上に存在する場合…」となっているのでsuyasuyaさんの解では足りないね。


基本は正しいのだが…もっとも私もこういうミスをやった方なので人のこと言えませんが。
正しい答えは「OP=KOB+(1-K)OA、0≦k≦1」 ですね。
「0≦k≦1」がないと直線AB上ということになって具合が悪いね。

以上
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点Aと点Bを通る直線(L)の方程式を求めて、この方程式を満たすxとyが直線L上にある点(x,y)です。



線分ですので、xがAXとBXの間にある場合だけを考えればいいと思います。

つまり、直線の方程式とAX≦x≦BX(AX≦BXなら)の二つの条件両方を満たせばいいのでしょうか?
不安だな~。
すいません、それでは。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。同じ問題でも色々な考え方があるのですね。一次関数で考えるととても分かりやすいです。ただ、場合分けするときに、「なにか忘れてるんじゃないかしら・・・」といつも不安になってしまいます。

お礼日時:2001/09/17 13:03

ベクトルから考えると、点が線分上にある条件は


AP(ベクトル)=KAB(ベクトル)・・・・・Kは定数~~~~(1)
上記の式になります。詳しく言うと
A,P,Bが一直線にあるためには、A→P→Bとなり、AP(ベクトル)とAB(ベクトル)は平行(起点が同じAで同じ方向)にならなくてはいけません。よって、上記のような式になります。
また、原点をOとおくと、AP=OP-OA、AB=OB-OAとなり、これを(1)に代入すると
OP-OA=K(OB-OA)となります。これを、まとめると
OP=KOB+(1-K)OA~~~(2)
(2)も条件式になります。ちなみに(2)の場合、Pは線分ABをK:(1-K)に分ける点になります。
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また、位置ベクトルによって定められていない点であるとこの分点の公式は定義できないんですか??

Aベストアンサー

別に位置ベクトルである必要はありませんが、始点は揃っている必要があります。
@p=n@a+m@b/m+n
ではなく、
@CP=n@CA+m@CB/m+n
でも、
@DP=n@DA+m@DB/m+n
でも構いません。ただ、
@CP=n@DA+m@DB/m+n
はだめです。

位置ベクトルとして定めておけば、それは「始点を全て原点にする」という暗黙の了解(というかそういう定義)があるので、
問答無用に
@p=n@a+m@b/m+n
が成り立つといっていいわけです。

う~んイマイチな説明ですね。出直してきます。

参考になれば幸いです。

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Aベストアンサー

a<bのときは、aにABの距離のm/(m+n)倍を足せばよく、a>bの時はaからABの距離のm/(m+n)倍を引けばよいことになります。
距離は前者の場合はb-aであり、後者の場合はa-bですから、前者では足し、後者では引くので結局両者は同じ式になります。

Qoを中心とする半径1の球面上にA,B,Cの3点が有り、線分AB,BC,

oを中心とする半径1の球面上にA,B,Cの3点が有り、線分AB,BC,CAの中点を
P,Q,Rとするとき、OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以下である
ことをしめせ。
ヘクトルで考えましたが、行き詰まりました。
OP,OQ,ORの長さがすべて1/2より大きいとして、矛盾を導こうとしました。
ベクトルをもちいて、ベクトルOAとベクトルOBのなす角は120°より大きいとなりました。
同様に、ベクトルOBとベクトルOCのなす角も、ベクトルOCとベクトルOAのなす角も
120°より大きいとなりました。
このあと、矛盾を導き出せません。どのようにすればいいのかよろしくおねがいします。

Aベストアンサー

座標を導入すると, ほぼ瞬殺なんですよ....
O(0, 0, 0), A(0, 0, 1) とします. で, (A が関係する) OP, OR はどちらも長さが 1/2 未満と仮定します. このとき B と C の z座標はどちらも -1/2 より小さくなり, したがってその中点である Q の z座標も -1/2 より小さい.
これだけ.

QP(0), P(1),P(2),・・・, P(n)が整数ならば、全ての整数kに対してP(k)は整数

『nを自然数, P(x)をn次の多項式とする。P(0), P(1),P(2),・・・, P(n)が整数ならば、全ての整数kに対してP(k)は整数であることを証明せよ。』

数学的帰納法で解けるらしいのですが、分かりません。どなたか教えてください。

Aベストアンサー

別に帰納法でなくても証明可能だ。
いったん証明を書いてしまったが、削除。途中まで記載。

多項式全体の成す環を R[x] としよう(面倒なので R は実数体)
R[x] の R 上のベクトル空間としての基底を下記のように取る

P_0 = 1, P_1 = x, P_2 = x(x-1), P_3 = x(x-1)(x-2), ...

以下略

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点Pの座標は内分点なのでP(2.4)とだすことができました。
そしてAB上に点Qをとり、X座標をtと置き
Q(t.-1/3t+2/3)ができました。

このあとはどのように計算すればよいのですか?

Aベストアンサー

なるほど!
三角形の面積の公式は?
http://mathtrain.jp/sinmenseki
sinを用いた面積の公式より、
△ABCと△APQにおいて、∠CAB=∠PAQ(=θとおく) だからだよ!

三平方の定理より
AC=4√2 , AB=√(1^2+(2+1)^2)=√10
AP=3/(3+1) ・AC=(3/4)・4√2=3√2
よって、面積における条件より
AC・AB・sinθ=2AP・AQ・sinθ
∴ 4√2 ・ √10=2・3√2・AQ
∴ AQ= (2/3)√10=(2/3)AB
よって、
点Qは、相似より(1,1/3)となる!
後は、簡単だね!
教師でない59歳だよ!


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