数学がとても苦手なのです。基本的な問題で申し訳ありません。

同一平面上で、ある点P(PX,PY)が、点A(AX,AY),点B(BX,BY)を結んだ線分AB上に存在する場合、点Pの座標が満たすべき条件を教えてください。

なんとなくは分かるのですが、シンプルに考えることができず、頭の中がごちゃごちゃになってしまいます。

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A 回答 (4件)

一般に平面上に線形独立なベクトルが2つあったとすると、(それぞれ位置ベクトルをa,bとする)


その平面上の任意の点(位置ベクトルをpとする)はすべてそれらの一次結合(線形結合)で表わすことができる。

すなわち、p=αa+βb…(1)(α,βは任意)と簡単に表わせることが出来る。
このαとβに条件がつくと、線分、直線、領域などを表わすことができるのだ。
それについてわからなければ後日にまた質問してもらえればよい。一つだけ言っておくと、覚えるべきは(1)式だけであり、他の条件は線分、直線、領域など特別な場合でさえ自分で導くことが重要だということだ。その後に覚えるなら許されるのだが、初めからこんなもの覚えたところでパラメーターを変えられれば問題が解けなくなるのは、目に見えている。どうか正しく勉強なさいますように。
私は高校生のとき、「大学への数学シリーズ」で勉強していましたが、空間図形とベクトルに関しては「細野真宏の空間図形とベクトルが面白いほどわかる本ハイレベル問題」がおすすめだ。解が気に入らないところもあるが(たとえば点から平面に下ろした垂線の足の座標の求めかた…等)、良書の類であるのは確信できる。
この本を読まずしてベクトルを語るなかれ。
suyasuyaさんの解は正しい。これによると、条件はα+β=1ですね。
ちなみに、「α+β=1かつα≧0,β≧0ならばpは線分AB上」
「0≦α≦1,0≦β≦1ならば、pはOA,OBを二辺とする平行四辺形の周および内部」
「α+β≦1かつα≧0,β≧0ならばpは三角形OABの周および内部」
等々いろいろあるがどれも一つ変えただけでがらっと答えが違うことに注目してほしい。パターン暗記がいかに無意味なことかわかるはずだ。
パターン暗記が通用するのは微積で、一番役に立たないは確率なんだがベクトルは中間に位置しているので勉強方法がわからない人は意外にも多いのかもしれない。
いずれにしても、勉強することがいっぱいあって大変だなということです。

以上
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「…線分AB上に存在する場合…」となっているのでsuyasuyaさんの解では足りないね。


基本は正しいのだが…もっとも私もこういうミスをやった方なので人のこと言えませんが。
正しい答えは「OP=KOB+(1-K)OA、0≦k≦1」 ですね。
「0≦k≦1」がないと直線AB上ということになって具合が悪いね。

以上
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点Aと点Bを通る直線(L)の方程式を求めて、この方程式を満たすxとyが直線L上にある点(x,y)です。



線分ですので、xがAXとBXの間にある場合だけを考えればいいと思います。

つまり、直線の方程式とAX≦x≦BX(AX≦BXなら)の二つの条件両方を満たせばいいのでしょうか?
不安だな~。
すいません、それでは。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。同じ問題でも色々な考え方があるのですね。一次関数で考えるととても分かりやすいです。ただ、場合分けするときに、「なにか忘れてるんじゃないかしら・・・」といつも不安になってしまいます。

お礼日時:2001/09/17 13:03

ベクトルから考えると、点が線分上にある条件は


AP(ベクトル)=KAB(ベクトル)・・・・・Kは定数~~~~(1)
上記の式になります。詳しく言うと
A,P,Bが一直線にあるためには、A→P→Bとなり、AP(ベクトル)とAB(ベクトル)は平行(起点が同じAで同じ方向)にならなくてはいけません。よって、上記のような式になります。
また、原点をOとおくと、AP=OP-OA、AB=OB-OAとなり、これを(1)に代入すると
OP-OA=K(OB-OA)となります。これを、まとめると
OP=KOB+(1-K)OA~~~(2)
(2)も条件式になります。ちなみに(2)の場合、Pは線分ABをK:(1-K)に分ける点になります。
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Aベストアンサー

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@p=n@a+m@b/m+n
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@DP=n@DA+m@DB/m+n
でも構いません。ただ、
@CP=n@DA+m@DB/m+n
はだめです。

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120°より大きいとなりました。
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座標を導入すると, ほぼ瞬殺なんですよ....
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Aベストアンサー

別に帰納法でなくても証明可能だ。
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R[x] の R 上のベクトル空間としての基底を下記のように取る

P_0 = 1, P_1 = x, P_2 = x(x-1), P_3 = x(x-1)(x-2), ...

以下略

Q慶應経済入試で、点と平面の距離を求める問題です

座標空間の原点O(0,0,0) と3点A(1,0,0)、B(1/2,√3/4,3/4)、C(1/2,-√3/6,1/2) があるとき
△OABを含む平面をαとするとき、点Cから平面αへ下ろした垂線とαの交点をHとするとき、線分CHの長さはいくらか求める問題です


解法を見ると、法線ベクトル(a,b,c)=(0,√3,-1)を出して点と平面の距離の公式に当てはめているようなのですが、
|0×1/2+√3×(-√3/6)-1×(1/2)| / 全体にかかる√  0の2乗+√3の2乗+(-1)の2乗
となっていますが、分子のほうに
平面αの方程式 ax+by+cz+d=0 の dの部分がないように思えるのですが
よくわかりませんのでお教えお願いします

Aベストアンサー

No.2です。

ANo.2の補足の質問について

>この問題では、まずは法線ベクトルを求めて、それから点と平面の距離の公式に当てはめて解くのが一番妥当でしょうか?

その通りでしょうね。
一番スマートで、計算も楽な解答です。言い換えれば、計算も簡単で短く、それゆえ計算間違いも起こりにくく短時間で解けるということです。

時間制限や計算ミスが問題になるテストや受験では、計算ミスが少なく短時間で解ける解法が望まれます。

時間が十分ある場合は、他の解法と比較してみることも大切でしょう。色々な解法を知っていれば応用力がつくでしょうから…。

Q三点A(-1.1) B(2.0) C(3.5)を頂点とする△ABCがあり、点Pは線分AC上でAP:P

三点A(-1.1) B(2.0) C(3.5)を頂点とする△ABCがあり、点Pは線分AC上でAP:PC=3:1です。
点Pを通る直線lによって△ABCの面積が二等分されるときの直線lの方程式を求めよ。

点Pの座標は内分点なのでP(2.4)とだすことができました。
そしてAB上に点Qをとり、X座標をtと置き
Q(t.-1/3t+2/3)ができました。

このあとはどのように計算すればよいのですか?

Aベストアンサー

なるほど!
三角形の面積の公式は?
http://mathtrain.jp/sinmenseki
sinを用いた面積の公式より、
△ABCと△APQにおいて、∠CAB=∠PAQ(=θとおく) だからだよ!

三平方の定理より
AC=4√2 , AB=√(1^2+(2+1)^2)=√10
AP=3/(3+1) ・AC=(3/4)・4√2=3√2
よって、面積における条件より
AC・AB・sinθ=2AP・AQ・sinθ
∴ 4√2 ・ √10=2・3√2・AQ
∴ AQ= (2/3)√10=(2/3)AB
よって、
点Qは、相似より(1,1/3)となる!
後は、簡単だね!
教師でない59歳だよ!


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