この問題の(4)の答えが-2≦m＜0,3＜m≦4となるのかわかりません。 解説お願いします

この問題の(4)の答えが-2≦m＜0,3＜m≦4となるのかわかりません。
解説お願いします

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/30 06:24

x^2+mx+m=0…①

(x+m/2)^2=(m^2-4m)/4
(x+m/2)^2=m(m-4)/4…①'

x^2-2mx+m+6=0…②
(x-m)^2=m^2-m-6
(x-m)^2=(m+2)(m-3)…②'

m<-2のとき
(x+m/2)^2=m(m-4)/4>0
(x-m)^2=(m+2)(m-3)>0
①②がともに異なる2つの実数解をもつ

m=-2のとき
(x+m/2)^2=m(m-4)/4>0
(x-m)^2=(m+2)(m-3)=0
①,②のうち一方①だけが異なる2つの実数解をもつ…(a)

-2<m<0のとき
(x+m/2)^2=m(m-4)/4>0
(x-m)^2=(m+2)(m-3)<0
①,②のうち一方①だけが異なる2つの実数解をもつ…(b)

m=0のとき
(x+m/2)^2=m(m-4)/4=0
(x-m)^2=(m+2)(m-3)<0
①,②の少なくとも一方①が実数解をもつ

0<m<3のとき
(x+m/2)^2=m(m-4)/4<0
(x-m)^2=(m+2)(m-3)<0
①,②がともに実数解をもたない

m=3のとき
(x+m/2)^2=m(m-4)/4<0
(x-m)^2=(m+2)(m-3)=0
①,②の少なくとも一方②が実数解をもつ

3<m<4のとき
(x+m/2)^2=m(m-4)/4<0
(x-m)^2=(m+2)(m-3)>0
①,②のうち一方②だけが異なる2つの実数解をもつ…(c)

m=4のとき
(x+m/2)^2=m(m-4)/4=0
(x-m)^2=(m+2)(m-3)>0
①,②のうち一方②だけが異なる2つの実数解をもつ…(d)

4<mのとき
(x+m/2)^2=m(m-4)/4>0
(x-m)^2=(m+2)(m-3)>0
①②がともに異なる2つの実数解をもつ

(a)(b)(c)(d)から
-2≦m<0.または.3<m≦4

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/08/29 15:14

「2次方程式の 実数解の有無は 判別式を使う」と云う事は 理解で来ますか。

判別式を D とすれば、D<0 のときは 実数解が無いのでしたね。
つまり 異なる2つの実数解を持つ条件は D>0 です。
① が実数解を持つ条件は D=m²-4m=m(m-4)>0 。
　つまり m>m-4 ですから m-4>0 又は m<0
➁ が実数解を持つ条件は D=4m²-4m-24=4(m+2)(m-3)>0 。
　つまり m+2>m-3 ですから m-3>0 又は m+2<0 。
　　
この範囲を 線分図で表すと 分かり易いと思いますよ。
(4) の答えは 上の範囲で 片方にだけ適する部分になります。
但し、問題は「一方だけが 異なる・・・」ですから、
片方は 重解でも 良いわけですから、それを考慮すると、
-2≦m<0 又は 3<m≦4 となりますね。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/29 02:07

その答えの「,」の使い方はよくない。

その書き方では、「,」の意味が判らない。
これを指摘しないようなボンクラが採点するテストを受けていると
朱に交われば赤くなってしまうから、気をつけよう。

(①,②のうち一方だけが異なる２つの実数解を持つ)
⇔ ((①は異なる２つの実数解を持ち、かつ、②は異なる２つの実数解を持たない)
　または(②は異なる２つの実数解を持ち、かつ、①は異なる２つの実数解を持たない))
⇔ ((①の判別式の値は>0であり、かつ、②の判別式の値は≦0である)
　または(②の判別式の値は>0であり、かつ、①の判別式の値は≦0である))
⇔ ((m²-4m>0 かつ 4m²-4(m+6)≦0)
　または(4m²-4(m+6)>0 かつ m²-4m≦0))
⇔ ((m(m-4)>0 かつ (m+2)(m-3)≦0)
　または((m+2)(m-3)>0 かつ m(m-4)≦0))
⇔ (((m<0 または 4<m) かつ -2≦m≦3)
　または((m<-2 または 3<m) かつ 0≦m≦4))　←ここから
⇔ (-2≦m<0
　または 3<m≦4).　　　　　　　　　　　　　←ここへの変形は、

(m<0 または 4<m) かつ -2≦m≦3) と
(m<-2 または 3<m) かつ 0≦m≦4) の各々に対して
数直線を書いてあてはまる区間を探せばよい。

くどいようだが、
「-2≦m<0 または 3<m≦4」のことを
「-2≦m<0, 3<m≦4」と書いたら間違いである。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/08/29 00:48

判別式は

　D₁=m²-4m , D₂=m²-(m+6)

したがって、条件を満たすのは
　D₁>0 かつ D₂≦0
または
　D₁≦0 かつ D₂>0
のとき。

1.D₁>0 かつ D₂≦0のとき

　m²-4m>0 , m²-(m+6)≦0 → 4m<m²≦m+6
→ m<2・・・・①

　m²-4m=m(m-4)>0
だから①のもとで　D₁>0 を満たすには　
　m<0 ・・・・②
となる。つぎに D₂≦0 を満たすには
　m²-(m+6)=(m-1/2)²-1/4-6≦0 → (m-1/2)²≦25/4
→ -5/2≦m-1/2≦5/2 → -2≦m≦3
②とこれを合わせて
　-2≦m<0
となる。

2.D₁≦0 かつ D₂>0　のとき

同様に
　m²-4m≦0 , m²-(m+6)>0 → 4m≧m²>m+6
→ m>2・・・・③

　m²-4m=m(m-4)≦0
だから③のもとでは　
　m≦4 ・・・・④
となる。つぎに
　m²-(m+6)=(m-1/2)²-1/4-6>0 → (m-1/2)²>25/4
→ m-1/2<-5/2 または m-1/2>5/2
→ m<-2 または m>3
③から
　m>3
のみとなる。④とあわせて
　3<m≦4
となる。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/29 00:28

「一方だけ」なので

(a) ①が「異なる2つの実数解」をもち、かつ②は「重解または複素解」をもつ
または
(b) ②が「異なる2つの実数解」をもち、かつ①は「重解または複素解」をもつ

ということです。
これを理解できるかどうかがポイントです。


(a) は判別式から
　①：D1 = m^2 - 4m > 0　　　　③
かつ
　②：D2/4 = m^2 - (m + 6) = m-2 - m - 6 ≦ 0　　④

③より
　m(m - 4) > 0 → m<0 または 4<m
④より
　(m - 3)(m + 2) ≦ 0 → -2≦m≦3
よって「かつ」の範囲は
　-2≦m<0

(b) は判別式から
　①：D1 = m^2 - 4m ≦ 0　　　　⑤
かつ
　②：D2/4 = m^2 - (m + 6) = m-2 - m - 6 > 0　　⑥

⑤より
　m(m - 4) ≦ 0 → 0≦ｍ≦4
⑥より
　(m - 3)(m + 2) > 0 → m<-2 または 3<m
よって「かつ」の範囲は
　3<m≦4

求めるものは (a) または (b) の範囲なので
　 -2≦m<0、 3<m≦4