赤い印の問題なのですが、なぜ青く囲んだグラフになると計算せずとも分かるのでしょうか？ 展開して増減表

赤い印の問題なのですが、なぜ青く囲んだグラフになると計算せずとも分かるのでしょうか？
展開して増減表書いてグラフ書こうとしたのですが、やり方が分かりませんでした。

No.4 回答者： AっKI 回答日時： 2023/09/05 22:35

因数分解された式からグラフの概形が描けるようになって

おかなければなりません。
3次の係数が正の3次関数はＮ字型ですから
（N字だと分かっていなくても前後の数を代入してみれば
増減は把握できます）青の囲みの概形が浮かばないといけないです。
4次以降でも同様です。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/02 07:42

x^3　の係数が1で正だからこの外形になります

f(x)=x^3 +.......より
lim x→ -∞　f(x)= -∞
lim x→ ∞ f(x)= ∞

x軸の交点は
f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)=0 のときの　
x+1=0 から x= -1
x-1=0 から x= 1
x-3=0 から x=3

f(x)>0 はf(x)=yから　y軸で正の範囲だから上記になります

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/01 23:16

まず、

　(x + 1)(x - 1)(x - 3) = 0
の解が
　x=-1, 1, 3
であることは分かりますね？

これは
　y = (x + 1)(x - 1)(x - 3)
という3次曲線と、
　y = 0
つまり「ｘ軸」の交点の x 座標である、ということもよいですね？

次に、3次項の係数が「正」の三次曲線は
　単調増加→極大→単調減少→極小→単調増加
となることは分かりますか？
二次関数が「2次項の係数が正」なら「下に凸の放物線」、「2次項の係数が負」なら「上に凸の放物線」になるのと同じように、ある意味「あたりまえ」のことです。（x→-∞、x→∞ を考えれば分かる）

この3次曲線が「3か所でｘ軸を横切っている」ということは
①最初の「単調増加」の途中に x=-1 でｘ軸を横切る
②「単調減少」の途中に x=1 でｘ軸を横切る
③最後の「単調増加」の途中に x=3 でｘ軸を横切る
ということが分かります。

これらのことが分かっていれば、
　　(x + 1)(x - 1)(x - 3) > 0
とは、
　y = (x + 1)(x - 1)(x - 3)
という3次曲線の「x 軸よりも上の部分」ということですから、①②③から
　-1 < x <1、3 < x
ということが分かります。
「理解する」というよりは「想像する」ということかと思います。

まあ、「慣れ」というか、「3次曲線」をいくつか「増減表」とともに描いてみれば、自然に「そういうもんだ」と思うようになります。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/01 21:09

(x+1)(x-1)(x-3)>0

x<-1のとき
x+1<0
x-1<0
x-3<0
だから
(x+1)(x-1)(x-3)<0

-1<x<1のとき
x+1>0
x-1<0
x-3<0
だから
(x+1)(x-1)(x-3)>0…①

1<x<3のとき
x+1>0
x-1>0
x-3<0
だから
(x+1)(x-1)(x-3)<0

3<xのとき
x+1>0
x-1>0
x-3>0
だから
(x+1)(x-1)(x-3)>0…②

①②から
∴
-1<x<1 または 3<x