高一数学整数〔授業プリント No.7 〕「nを自然数とするとき、n²+5n+12とn+2の最

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質問者：とまとーと
質問日時：2023/10/10 22:08
回答数：3件

高一数学整数

〔授業プリント No.7 〕

「nを自然数とするとき、n²+5n+12とn+2の最大公約数として考えられる数をすべて求めよ。過程も書け。」
という問題で、最大公約数として考えられる数が 1,2,3,6なことは分かったのですが、
・n＝3のとき
n+2＝5より
n+2と6の最大公約数は1

のように、
・n＝2のとき
・n＝1のとき
・n＝4のとき
においても、すべてやらなければならない意味がわかりません。
なぜなら、例えば、・n＝3のときなら、6と最大公約数が1になるn+2の値はいくらでもあると思うのです。

なぜ

・n＝3のとき
・n＝2のとき
・n＝1のとき
・n＝4のとき

とやらなければならないのか、
他の証明方法はないのか、
教えて下さると助かります(* .ˬ.)‪ෆ‪.*･ﾟ

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回答 (3件)

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No.3

回答者： tknakamuri
回答日時：2023/10/11 08:46

ユークリッドの互助法から

n^2+5n+12とn+2の最大公約数は
n+3と6の最大公約数と同じ。

6の約数は6、3、2、1
だから最大公約数はこのどれかでnに依ります。

厳密には
n+3 が6と、6、3、2、1の最大公約数
を持つようにnを決める方法を示すか
其々の最大公約数に対してー個例を示す必要が有りますが
後者の方が簡単です。

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この回答へのお礼

そういう事なのですね！！
ありがとうございます !!

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お礼日時：2023/10/11 10:48

No.2

回答者：ありものがたり
回答日時：2023/10/11 08:41

n²+5n+12 を n+2 で割って

n²+5n+12 = (n+2)(n+3) + 6.

n²+5n+12 と n+2 の最大公約数は
6 と n+2 の最大公約数に等しい。
よって 6 の約数でなければならない。

これだけだと、
6 の約数が全て n²+5n+12 と n+2 の最大公約数になるか
どうかはまだ判らない。
1, 2, 3, 6 が全て現れることを言うためには、
実際にそうなるような n を挙げてみせるのが早い。

n に全ての自然数を代入するなんてできるはずもない。
やっているのは、最大公約数 1, 2, 3, 6 を集めることだよ。