方程式 (sin x + 1)(cos x + 1) = k

問題：方程式 (sin x + 1)(cos x + 1) = k の解が 0 ≦ x < 2π の範囲にちょうど 2 つあるような実数 k を求めよ。

自分の解答：sinx=t,cosx=√(1-t^2)

とおいて、微分したら上に凸のグラフとなりました。

https://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%2B1%29 …

よって答え=2<k<(3/2)+√2

として間違えました。このグラフで1個しか共有点なくても、sinxの解が2つあるからなんでしょうが、修正できませんでした。また2つ共有点があっても、4つ解があるかもしれません。

全くわかりません。

この解き方を修正する形で教えてくれませんか？よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/04 21:45

パット見てですが…

この問題のxの定義域では

コサインがマイナスの値になることもあります

でも、あなたの置きかかえ方だと

コサインはマイナスの値を取れない　

そこが誤りの一因ですかね…

この回答へのお礼

cosx=-√(1-t^2)として、グラフを2つ張り合わせたら解けました。

ありがとうございます。

お礼日時：2023/12/04 21:47

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2023/12/05 16:47

じつは

ｋ＝(1/2)(sinｘ＋cosｘ＋1)²　と変形できる。
さらに
ｋ＝(1/2)[√2sin(ｘ＋π/4)＋1]²　としてグラフで見た方が
わかりやすいのでは？

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/05 15:07

(1+sinx+cosx)^2

=1+2(sinx+cosx)+(sinx+cosx)^2
=1+2(sinx+cosx)+(sinx)^2+2sinxcosx+(cosx)^2
=1+2(sinx+cosx)+1+2sinxcosx
=2+2(sinx+cosx)+2sinxcosx
=2(1+sinx+cosx+sinxcosx)
=2(1+sinx)(1+cosx)
=2k

(1+sinx+cosx)^2=2k

{1+(√2)sin(x+π/4)}^2=2k

0≦{1+(√2)sin(x+π/4)}^2=2k
だから
0≦k

k=0のとき
1+(√2)sin(x+π/4)=0
(√2)sin(x+π/4)=-1
sin(x+π/4)=-1/√2
π/4≦x+π/4<9π/4
x+π/4=5π/4.or.7π/4
x=π.or.3π/2
解が2つある

1+(√2)sin(x+π/4)=±√(2k)
(√2)sin(x+π/4)=-1±√(2k)

(3/2)-√2<k<(3/2)+√2のとき
3-2√2<2k<3+2√2
(1-√2)^2<2k<(1+√2)^2
-1+√2<√(2k)<1+√2

-1<-1+√(2k)<√2
だから
(√2)sin(x+π/4)=-1+√(2k)
-1<(√2)sin(x+π/4)<√2
-1/√2<sin(x+π/4)<1
となる
解xが2つある

-1-√(2k)<-√2
だから
(√2)sin(x+π/4)=-1-√(2k)<-√2
となる
解は無

k=0.または.(3/2)-√2<k<(3/2)+√2

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/05 14:19

解いておく。

y = (sin x + 1)(cos x + 1) と置くと、
dy/dx = (sin x + 1)’(cos x + 1) + (sin x + 1)(cos x + 1)’
　　　= (cos x)(cos x + 1) + (sin x + 1)(- sin x)
　　　= cos^2 x + cos x - sin^2 x - sin x
　　　= (cos^2 x - sin^2 x) + (cos x - sin x)
　　　= (cos x + sin x + 1)(cos x - sin x)
　　　= 2(sin(x + π/4) + 1/√2)cos(x + π/4).

dy/dx = 0 となる x は、x + π/4 = π/2, (5/4)π, (3/2)π, (7/4)π.

増減表を書くと、
x　　0　　　　π/4　　　　π　　　　(5/4)π　　　(3/2)π　　　　2π
y’　　　　＋　　0　　－　　0　　＋　　0　　　－　　0　　　　＋
y　　y(0)　↑　極大　↓　　極小　↑　　極大　↓　　極小　　↑　　y(0).

y(π/4)　　= (1/√2 + 1)(1/√2 + 1)　　= (3+2√2)/2,
y(π)　　　= (0 + 1)(-1 + 1)　　　　　　= 0,
y((5/4)π)　= (-1/√2 + 1)(-1/√2 + 1)　= (3-2√2)/2,
y((3/2)π)　= (-1 + 1)(0 + 1)　　　　　= 0.

y = k の解の個数は、
k < 0　　　　　　　　　　　 で 0 個,
k = 0 　　　　　　　　　　　で 2 個,
0 < k < (3-2√2)/2　　　　　で 4 個,
k = (3-2√2)/2　　　　　　　で 3 個,
(3-2√2)/2 < k < (3+2√2)/2 で 2 個,
k = (3+2√2)/2　　　　　　　で 1 個,
(3+2√2)/2 < k　　　　　　　で 0 個.

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/12/05 10:47

No.3に激しく同意なのだが、しかし

> この解き方を修正する形で

というご注文。でしたら、
　　k<(3/2)+√2
はOKだから、
　　-cosx=√(1-t^2)
の場合も考察する。

　あるいは
　　x = θ + π/4
と変数を変えてみるのでも吉。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/04 23:36

間違った理由は、No.2 のとおりでしょう。

解法としては、 t に置き換える必要がなくて、
y = (sin x + 1)(cos x + 1) のグラフを描けば答えが判ります。

No.1 回答者： amelielico 回答日時： 2023/12/04 21:36

2 ≦ k ≦ 4