よろしくお願いします。
四面体ABCDについて、A,Bからそれぞれの対面に垂線AA’,BB’をおろす。
AB⊥CDであるならAA’とBB’は交わることを証明せよ
という問題です。
方針を、
①AA’の点を仮定し(たとえばPなどと)、BPが△ACDと垂直であることを示せれば、、
②Bから△ACDに下ろす垂直は一つしかないから、AA’上にもBB’上にも存在するPは二直線の交点である
という感じに考えてみて、とりあえずベクトルAPをベクトルAA’の実数倍で表して内積計算をしていったら、BP⊥CDまでは導けたのですが、BP⊥ACかBP⊥ADのいずれにも導けません。
方針間違いでしょうか?
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
ここはやはりA、B、A'、B'が同じ平面上にあって
AA’、BB'は平行でないからこの2つの直線は交わる
と結論するのが早いでしょうね。
で、A、B、A'、B'が同じ平面上にあることの証明は以下の通り:
点A、Bから直線CDに垂線を引いてその足をそれぞれE、Fとすれば
↑AB=↑AE+↑EF+↑FB、これに↑CDを内積的にかけると
条件から
↑CD・↑AB=0、また↑CD・↑AE=0、↑CD・↑FB=0より
↑CD・↑EF=0 ここで↑EF=k↑CDと書けるから
k|↑CD|^2=0、k=0、点E=点F
これはAから直線CDに引いた垂線の足とBからCDに引いた垂線の足が
一致することを示すからA、Bは直線CD上のある点Hを通ってCDに
直交する平面πに含まれることを示す。
また↑AA'、↑BB'は↑CDと垂直だから上とまったく同じようにして
A'、B'も平面π上にあることがわかる。
とまあこんな感じです。
結局AA'、BB'の交点Pは三角形ABHの垂心になっているのです。
垂心Pをベクトルで表わすのはむずかしいと思う。
No.3
- 回答日時:
BP⊥ACは次のようにして導ける。
(以下B'A等はベクトル、・は内積と解釈してください)
B'A+AC+CB'=0 において
BB'⊥B'A、BB'⊥CB'だから上の式の両辺にBB'を内積的にかければ
B'B・AC=0、
一方BPはBB'の向きにあるからBP=kBB'とかけるので
BP・AC=kBB'・AC=0
ゆえにBP⊥AC
BP⊥AD も同じように導けます。
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訂正です
>①AA’の点を仮定し(たとえばPなどと
正しくは、AA’上の点を仮定し です。失礼しました。