No.3
- 回答日時:
あー、しまった。
No.1 の言うとおりだ。
No.2
- 回答日時:
(d/dθ)^2 f(θ) = -ν f(θ) は、斉次線型微分方程式ですから、
初等関数で明示的に解くことができます。
一般解は、ν=0 のとき f(θ) = A + Bθ (A,B は定数),
ν≠0 のとき λ^2 = -ν のふたつの解を λ = α, β として
f(θ) = A e^(αθ) + B e^(βθ) (A,B は定数) です。
前提として ν が実数に限られるのであれば...
ν > 0 のとき:
λ = ±i√ν となるので、
f(θ) = A e^(i (√ν)θ) + B e^(-i (√ν)θ)
= A{ cos((√ν)θ) + i sin((√ν)θ)} + B{ cos((√ν)θ) - i sin((√ν)θ)}
= C cos((√ν)θ) + D sin((√ν)θ).
(C,D は定数. C=(A+B), D=i(A-B))
この f(θ) は基本周期 2π/√ν を持ちますから、
周期 2π を持つ条件は √ν が整数であることです。
ν = 0 のとき:
f(θ) = A + Bθ であり、
この f(θ) は周期関数ではありません。
ν < 0 のとき:
λ = α, β = ±√|ν| となり、α, β は実数です。
f(θ) = A e^(αθ) + B e^(βθ) は周期関数ではありません。
以上をまとめると、
f(θ) が周期 2π を持つのは ν = -m^2 (mは整数) のときのみ
ということになります。
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