高校数Aの問題です。 わかりません。答えは960です。解説お願いします。

高校数Aの問題です。
わかりません。答えは960です。解説お願いします。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/15 11:44

補足

28＝7×4とみれば
N＝◯⁶×△³であり
N＝2⁶×3³が最小だが
先程の960を上回るので不適
28＝14×2とみても同様に不敵
Nは一種類の約数しか持たないとみたら
N＝◯²⁷
で最小は
N＝2²⁷
これも960を上回るので不敵

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/15 11:35

求めるべき数Nを素因数分解すると

N＝(2^a)×(3^b)×(5^C)×(7^d)×…
となる
ここで、例えば126＝2×3²×7のような素因数を持つ数の約数を考えてみる
(2⁰+2¹)×(3⁰+3¹+3²)×(7⁰+7¹)
という式を立て、これを展開したときに
＝1+2+3+…+126
という足し算の形式になって126の約数はすべて登場する！
そして展開前の式は左の()の中の数が2個
真ん中の()が3個
右が2個の掛け算だから
分配法則で展開したら、2×3×2個の数の足し算となり、これが126の約数の個数と一致する
つまり、126＝2×3²×7
の約数の個数
＝(素因数2の乗数+1)×(素因数3の乗数+1)×(素因数7の乗数+1)
である。
これは、別の数でも同様
そして気がつくべきは
素因数が3種類である126の約数の個数
＝2以上×2以上×2以上となっていること！
→これが、素因数4種類の場合なら
約数の個数
＝2以上×2以上×2以上×2以上
となり、素因数5種なら…
となる

これを踏まえ
Nの約数の個数は
28＝2×2×7であるから
Nの約数の種類は3種類だと言える
そしてそのうち一種類の約数は
7-1＝6乗であり
残りの約数は1乗
つまり
N＝◯×△×□⁶
と表わせる　
この条件下で
N＝(2^a)×(3^b)×(5^C)×(7^d)×…
が最小となるのは
a＝6
b＝1
c＝1
(d＝0、…)
∴N＝2⁶×3×5＝960
このように求められます