整数問題 兎に角 難問です 千葉大学医学部過去問

取り急ぎ(1)だけですが

以下問題と答案


https://imgur.com/a/Z1D69MG

ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• mtrajcp教授
  
  おはようございます！
  
  ご回答ありがとうございます
  
  本問(2)
  3^n=k^2-40
  
  は、どうお考えですか？
  
  何卒宜しくお願い致します。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/21 11:33

• 

  mtrajcp教授
  
  おはようございます！
  
  ご回答ありがとうございます
  
  法を4に取ると直ぐに浮かぶんですね
  
  私は、試行錯誤しました。
  
  私の答案を2つ用意しました。
  
  ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。
  
  画像拡大リンク
  
  https://imgur.com/a/q7prnrE
  
  https://imgur.com/a/y84lpcY

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/22 03:34

• 

  --------------------------------
  Fermatの小定理
  pを素数とし,aを整数とすると
  a^p=a(mod p)
  が成立するという定理である
  --------------------------------
  
  正しくFermatの小定理をご理解されていないようです
  
  
  正しくは、a が p の倍数でない正の整数のとき、です
  
  ----------------------------------------------
  
  k≠0(mod 2)のときに限り
  k^(2-1)=1(mod 2)
  が成立する
  
  ------------------------------------
  
  これも謝り、ｋが２の倍数でないときです

    補足日時：2024/03/23 21:16

• 

  Fermatの小定理
  pを素数とし,aを整数とすると
  a^p=a(mod p)
  が成立するという定理である
  a≠0(mod p)のときに限り
  a^(p-1)=1(mod p)
  が成立する
  
  ↑↑↑↑↑↑
  
  無茶苦茶

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/23 21:32

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/21 17:28

3^n=k^2-40

左辺は奇数だから右辺も奇数だから
kは奇数だから
k^2=1(mod4)だから
3^n=1(mod4)
nが奇数と仮定すると
n=2m+1となる整数mがある
3^n=3^(2m+1)=3*9^m=3*(4*2+1)^m=3(mod4)
となって3^n=1(mod4)に矛盾するから
nは偶数だから
n=2mとなる整数mがある
3^(2m)=k^2-40
40=k^2-3^(2m)
40=(k+3^m)(k-3^m)
(k+3^m)(k-3^m)=40
k,3^mは奇数だからk-3^m,k+3^mは共に偶数
だから
(k-3^m=2)&(k+3^m=20).or.(k-3^m=4)&(k+3^m=10)

(k-3^m=2)&(k+3^m=20)のとき
2k=22
k=11
2*3^m=18
3^m=9
m=2
n=2m=4
(k,n)=(11,4)

(k-3^m=4)&(k+3^m=10)のとき
2k=14
k=7
2*3^m=6
3^m=3
m=1
n=2m=2
(k,n)=(7,2)
∴
(k,n)=(7,2)
(k,n)=(11,4)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

法を４に取るがこの問題のかなめですが、私は、すぐさま浮かばず

少し遠回りしました。

２つの答案を作成しました

https://imgur.com/a/q7prnrE

https://imgur.com/a/y84lpcY

ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。

お礼日時：2024/03/22 03:49

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/20 15:32

3^n=k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)

と因数分解できて
3^n=(k+1)(k^2-k+1)
となりk+1は3^nの約数1,3,3^2,…,3^nのどれかだから
k+1=3^m
k=3^m-1
L=3^(m-1)
k=3L-1
とわかるのだから
Fermatの小定理を持ち出す必要はありません

②の右辺
=(3^2)L{L(L-1)+1}
ではなく
=(3^2)L{3L(L-1)+1}
です

この回答へのお礼

mtrajcp教授

おはようございます！

ご回答ありがとうございます

本問(2)
3^n=k^2-40

は、どうお考えですか？

何卒宜しくお願い致します。

お礼日時：2024/03/21 07:59

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/19 20:19

(1)3^n=k^3+1を満たす正の整数組(k,n)を全て求めよ

3^n=(k+1)(k^2-k+1)
k+1は3^nの約数だから
k+1=3^mとなる整数mがある
2≦k+1=3^m だから　m≧1
k=3^m -1

3^n=(k+1)(k^2-k+1)
3^n=3^m{(3^m-1)^2-(3^m-1)+1}
3^n=3^m{(3^m)^2-2*3^m+1-3^m+1+1}
3^n=3^m{(3^m)^2-3*3^m+3}
3^n=3^(m+1){3^m(3^{m-1}-1)+1}

m=1
n=m+1=2
k=3-1=2
∴
(n,k)=(2,2)

この回答へのお礼

mtrajcp教授

お久しぶりです

また、お世話になります。

ご解説ありがとうございました。

相変わらずステキな解法ですね

御願いがあるのですが

私の答案の真否、ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。

お礼日時：2024/03/20 13:24