場合の数 ３の倍数（中学受験ですので、小学生までの技法で）

1〜9までの数字（整数）が書かれた９枚のカードが3組、合計27枚のカードがあります。この中から3枚のカードを選び３桁の整数をつくります。そのうち３の倍数はいくつありますか。

※
素人なりに計算で求めてみました。
1〜９までの数を３でわって、
・１余る数　１、４、７　　
・２余る数　２、５、８
・余らない数　３、６、９
で分類し、１余る数／２余る数／余らない数　の３数の組み合わせ（３✖️３✖️３）を出して、さらに３桁で並べる並べ方（６通り）を考え、３✖️３✖️３✖️６＝１６２通り

加え、
（1,1,1,4,4,4,7,7,7） の並べ方３✖️３✖️３＝２７
おなじく（2,2,2,5,5,5,8,8,8）で２７　（3,3,3,6,6,6,9,9,9）で２７

合計１６２＋２７✖️３＝２４３個

と考えましたが、合っておりますでしょうか？

ちなみに、
和分解もして組み合わせを調べてみました。
和 =3　　（1,1,1）で組み合わせ１通り　
和 =6　　（1,1,4）(1,2,3)(2,2,2) で３通り　
和 =9　　７通り
和 =12　１１通り
和 =15　１３通り
和 =18　１１通り
和 =21　７通り
和 =24　３通り
和 =27　１通り
(最大が９✖️３＝２７なので調べるのはここまで)
計５７通り　
３桁の並べ方　これはいちいち調べました。
（1,1,1）なら１通り
（1,1,4）なら３通り
(1,2,3) なら６通り

合計は２４３個となりました。

２通りでやってみて合いましたのであっているような気がしますが、
確認をさせてください。
こちらで答えはあっておりますでしょうか？

（調べ上げの練習をしていて、自分で作った問題なので答えがないのです）

上記の記述、わかりにくいところもあるかもしれませんが、その場合
ご指摘ください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/06/01 13:54

3桁の各桁の数字を合計した物が3で割り切れる(3の倍数)なら、元の3桁も3の倍数です。

例えば
123：各桁の数字を合計は1+2+3=6で、6は3の倍数なので123は3の倍数
1,2,3の順番はどうでも良いので、132,213,231,312,321も3の倍数

234：2+3+4=6だから234は3の倍数
これも2,3,4の順番はどうでも良いので、243,324,342,423,432も3の倍数

何故ソーなるのか？？
234の例で。
234=2×100 + 3×10 + 4=(2×99+2)+(3×9+3)+4
=(2×99)+(3×9)+2+3+4=9×(2×11+3)+2+3+4

9×(2×11+3)は必ず3で割り切れるから、2+3+4だけ見れば良い。

3桁の数を分解すると、必ず、9×(・・・)+1桁目＋2桁目＋3桁目に変形出来るのです。

結局、3つの数字を選んで、合計が3の倍数になれば、3つの数字を適当に並べた3桁の数も3の倍数になります。

こう考えると、随分と楽に解けると思います。