No.11ベストアンサー
- 回答日時:
No.8 の続きを計算で処理して dθ/ds > 0 を導こうとすると、
K の凸性を d²r/ds² や d²φ/ds² の入った式で表現する部分が
非常に面倒くさくて、正直やりきれない。
定性的な説明を、ちょっと試みよう。
K の境界をなす曲線を C と名付ける。
C 上に定点 p₀ をとって、 p₀ で接する C の接線をひく。
K が凸図形であることから、 K はこの接線の片側の半平面に含まれる。
p₀ を原点、 p の速度方向を v軸正方向、
v軸に垂直で K のある側を正とする軸を w軸とする vw直交座標を考える。
点 p₀ の近傍では、 C は vw座標上で 下凸な 一価正則の関数になるから、
C 上を反時計回りに移動する p の速度ベクトルの偏角 θ は
dθ/ds > 0 になる。
↓添付図:
p が s の増大とともに p₀ を通過するとき
青い接ベクトルが赤い接ベクトルへ変化すると考えると、
dp/ds の偏角 θ は増大している。
No.8
- 回答日時:
なんか、よくわからん「お礼」は来てるけど、
No.7 の続きで考えてみよう。
K の内部に位置ベクトル c の定点をとって、境界上の点 p を
p = c + r (cosφ,sinφ) と極座標表示してみる。
K が凸図形であれば、r が φ に対して一意になるから、
p も φ に対して一意。つまり、p が変数 φ でパラメータ表示される。
質問文にある「曲線 p が反時計回りに凸集合 K の周りを回っている」
というのは、「時間」 s に対して dφ/ds > 0 のこと
と解釈してよいのだろうと思う。
ここで、勝手に定数ベクトル c を置いてしまったが、微分すればそれは消えて
dp/ds = 0 + (dr/ds) (cosφ,sinφ) + r (-sinφ,cosφ) (dφ/ds) である。
θ の定義が No.6 No.7 のとおりだとすれば、
dp/ds = v (cosθ,sinθ) と置ける。 v は s のスカラー関数である。
(dr/ds) (cosφ,sinφ) + r (dφ/ds) (-sinφ,cosφ) = v (cosθ,sinθ) と
dφ/ds > 0 から
dθ/ds > 0 は導けるか? という形に、質問が定式化できたことになる。
さあどうかな...
No.7
- 回答日時:
> Θは接せんの傾きです。
(x軸となす角)接線と x軸がなす角 というと、幾何で考えるときに
角に絶対値が入ってしまうから、話が変になるけど、
反時計回りに廻る点 p の速度と x軸正方向のなす角
なら、ベクトルどうしのなす角だから、話はわかりますね。
原点云々の話も、なくなる。
それよりも、ありものがたりくんが一個前に行った
”ふつう正の方向となす角を考える”
ということだと思います。たしかに無限までいって(Θがパイにち限りなくちかかずく)
多価関数の次の部分にうつってまたΘがリセットされるみたいな動きになるけど、それよりなんか基になってるあたりまえな題材があると思いました。
tknakamuriさんがいってた
外側に凸(左曲がり)っていう意味かなって思いました
No.6
- 回答日時:
>例えばえんで、左下の方のさがっていくときになります。
交差角のようなことを考えているのだろうか?
普通運動の方向を角度で表わす場合、x軸正方向を何度反時計回りに回すと
軸の正方向が運動の方向と一致するかで考えます。
紙面右方向への移動なら0度や360度。
紙面上方向への移動なら90度
紙面左方向への移動なら180度
紙面下方向への移動なら270度
数式でかくと
dp/ds=v=(vx、vy)
vx/|v|=cosθ、vy/|v|=sinθ
pが凸集合の滑らかな境界を反時計回りに回って行くと
pの移動の向き(速度の向き)も反時計回りに回って行きますよね。
dθ/ds>0 はそういう意味です。
No.5
- 回答日時:
> 定義や定理をちゃんとかくと、これです
> https://imgur.com/a/Ke7TfJV
依然として、θ や s の定義が明記されてないのだが...
悪ふざけはいい加減にして、そろそろ問題を正確に
引用しようよ。時間の無駄だから。
No.4
- 回答日時:
> Θは接せんの傾きです。
(x軸となす角)ほらね。
θ の定義を書いてないことが難点だって言ったでしょう。
依然として s と図の関係を書いてないけど、接点のパラメータが s なのかな?
「x軸となす角」と言ったら、通常は x 軸正方向となす角を指すから、
補足のリンク先の θ₁, θ₂ は測ってる場所が違う。
図の 2本の接線の間だと、dθ/ds > 0 で反例になってない。
でも、曲線の上半分に s を取れば、確かに反例になる。
x軸と交わらない閉曲線なら、上半分は必ず存在するから...
違うか、閉曲線が x軸より下にある場合も考慮した言い方をすると、
x軸と交わらない閉曲線なら、x軸から遠い半分は必ず存在するから
反例となる孤は存在してしまうことになる。
閉曲線が x軸と交わる場合にも、たいていの曲線では反例が存在して、
あなたが解釈した版の定理が成り立つのは、閉曲線が x軸と
2箇所で交わって、交点がどちらも直交してる場合だけだ。
ほとんどの閉曲線で定理は成り立たないことになる。
ということは、その図の状況は
「説明」の言ってる定理とは違ってると考えたほうが無難だろう。
やはり、θ や s の定義を確認することが必要なのだと思う。
No.1 で書いたのは、質問文中の定理の文言を、
K は原点を内点に持ち、θ はパラメータ s が表す点の動経
だとすれば dθ/ds ≥ 0 は成り立ってる...という話。
>通常は x 軸正方向となす角を指すから、
そなんですか??
こういうことですか?https://imgur.com/a/Ke7TfJV
ふつうはといわれも初めてきいたからひどいとともいました。
>dθ/ds > 0 で反例になってない。
なってると思います。シータが小さくなるのならdΘ/dsはマイナスと思います。反時計回りだよ?
定義や定理をちゃんとかくと、これです
https://imgur.com/a/Ke7TfJV
No.2
- 回答日時:
>すぐに反例を思いつくんですけど
それを是非図で描いてみよう。ポンチ絵でいいから。
pの角度θを決めるには、角度を決めるための中心位置 o
が必要になります。これがどこにあるかで結論は全く変わるよ。
この条件が質問からぽろっと落ちてるのに 千票(^^;
というかθの定義くらい書こう。
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