数学Ⅰの質問です。

半径4の円に三角形ABCが内接している。AB＝２　∠ABC＝１２０のときの、辺BCの長さは？

解法を教えて下さい。

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2024/09/24 13:01

∠ABC=120°　より 大きい方の

孤AOCの円周角でもあるので　その中心角は　120*2=240°だから　∠AOC=360-240=120°

わかりにくければ

OからBCへ降ろした垂線との交点をFとすれば
∠OEB=∠OFB=90°　より
点 E O F B は円OEBFの円周上の点だから
∠AOC=2*∠EOF=2*(180-120)=120°　　でもいい

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2024/09/24 12:51

OからABに降ろした垂線との交点をEとすれば

孤ABに対して∠ACBは円周角　∠AOBは中心角なので
∠ACB=(∠AOB)/2=∠AOE だから
sin∠AOE=(2/2)/4=1/4 =sin∠ACB
また
cos∠OAB=sin∠AOE=1/4=cos∠OBA
sin∠OAB=√(1-cosOBA^2)=√15　/4
より

cos∠OBC=cos(１２０°　-　∠OBA)
=cos120°cos∠OBA + sin120°sin∠OBA
= - cos60°cos∠OBA + sin60°sin∠OBA
= - 1　/２　*(1/4) + √3　/２ *(√15　/4)
= - 1/8 +3√5　/８=(３√5　-1)/8
故に
BC=2*OB*cos∠OBC=2*4*cos∠OBC=３√5　-1






No.6 の最初の文を　わかりやすくする為に　以下に(追加)訂正します
∠ABC=120°　より　

大きい方の

孤AOCの円周角でもあるので　その中心角は　120*2=240°だから　∠AOC=360-240=120°

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2024/09/24 11:49

∠ABC=120°　より　孤AOCの円周角でもあるので　その中心角は

120*2=240°だから　∠AOC=360-240=120°
余弦定理から
AC^2=4^2 +4^2 -2*4*4cos120°=16+16-32cos120°=32+32cos60°
=32+32*(1/2)=48=(4√3)^2

でもいいし 　　または
中心OからACに降ろした垂線との交点をDとすれば
∠AOD=120/2=60°だから　∠OAC=180-90-60=30°だから
AC=2*AD=2*OA*cos３０°=2*4*√３　/2=４√3
余弦定理から
AC^2=2^2 +BC^2 -2*2*BC cos120°
(4√3)^2=4+BC^2 +4BC cos60°=4+BC^2 +4BC *(1/2)
=4+BC^2 +2 BC
16*3=48=4+BC^2 +2 BC
∴BC^2 +2 BC -(48-4)=0
∴(BC+1)^2=44+1=45=(3√5)^2
∴BC=3√5 -1

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/23 20:12

No.2 です。

ああ、円の半径は「4」ですね。「直径」だと早とちりしていた。

せっかくなので、#3 さんとは別の解法で。

円の中心を O、BO の延長線と円周との交点を D とします。
そうすれば、同じ円弧ABに対する円周角なので
　∠ACB = ∠ADB
BD は円の直径なので∠BAD = 90° で、△ABD は直角三角形です。
従って、
　AD = √(BD^2 - AB^2) = √60 = 2√15
　sin∠ACB = sin∠ADB = AB/BD = 2/8 = 1/4
　cos∠ACB = cos∠ADB = AD/BD = (2√15)/8 = (√15)/4

以上から
　∠BAC = 180° - 120° - ∠ACB
　　　　= 60° - ∠ACB
より
　sin∠BAC = sin(60° - ∠ACB)
　　　　　= [(√3)/2]cos∠ACB - (1/2)sin∠ACB
　　　　　= [(√3)/2](√15)/4 - (1/2)(1/4)
　　　　　= (√45)/8 - 1/8
　　　　　= (3√5 - 1)/8

これが分かれば、正弦定理より
　AB/sin∠ACB = BC/sin∠BAC
を使って
　2/(1/4) = BC/[(3√5 - 1)/8]
→　BC = 3√5 - 1

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/23 19:33

半径4の円に三角形ABCが内接している

|AB|=2
∠ABC=120°
のとき

円の中心をOとすると
|AB|/2=1
|OB|=(半径)=4
だから
cos∠ABO=|AB|/(2|OB|)=1/4
sin∠ABO=√15/4

cos∠OBC
=cos(∠ABC-∠ABO)
=cos(120°-∠ABO)
=sin(120°)sin(∠ABO)+cos(120°)cos(∠ABO)
=(√3/2)(√15/4)-(1/2)(1/4)
=(3√5-1)/8

|BC|
=2|OB|cos∠OBC
=2*4(3√5-1)/8
=3√5-1

∴
|BC|=3√5-1

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/23 16:16

半径4の円に三角形ABCが内接している

|AB|=2
∠ABC=120°
のとき
sin(∠ABC)=sin(120°)=√3/2

円の中心をOとすると
|AB|/2=1
|OA|=(半径)=4
(円周角)=(中心角)/2
∠ACB=∠AOB/2
だから
sin(∠ACB)=sin(∠AOB/2)=|AB|/(2|OA|)=1/4
cos(∠ACB)=√15/4

sin∠BAC
=sin(180°-∠ABC-∠ACB)
=sin(180°-120°-∠ACB)
=sin(60°-∠ACB)
=sin(60°)cos(∠ACB)-cos(60°)sin(∠ACB)
=(√3/2)(√15/4)-(1/2)(1/4)
=(3√5-1)/8

正弦定理から
|BC|/sin(∠BAC)=|AB|/sin(∠ACB)
|BC|sin(∠ACB)=|AB|sin(∠BAC)
|BC|/4=2(3√5-1)/8
∴
|BC|=3√5-1

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/23 15:43

＞∠ABC＝１２０

∠ABC＝120° ということでしょうか。

円の中心を O とすれば
　AO = BO = CO = 2
なので、AB=2 なので△ABO は「正三角形」になります。

円弧AC に対する円周角が 120° なので、円弧AC に対する中心角は 240° となり、
　∠AOC = 120°
となります。
△ABO が正三角形であることから
　∠BOC = 120° - 60° = 60°
従って△ACO も「正三角形」になります。

よって
　BC = 2

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2024/09/23 15:11

円の中心をOとするとき、

△ABOは、底辺2、斜辺4の二等辺三角形になり、
∠AOB=29.96度、∠ABO=75.52度になるので、
∠OBC=120-75.52=44.48度になります。
△BOCは、斜辺4の二等辺三角形で、底辺の両角が44.48度になります。
ここから、逆三角関数の利用で、辺BCの長さが求まります。
筆算では無理ですが。