2024.8.20 18:17にした質問の2024.8.29 21:01の解答について質問があります

2024.8.20 18:17にした質問の2024.8.29 21:01の解答について質問があります。

「
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)は=-1に収束する為、
(z-π/2)tan(z)の式は正則であり、
微分出来る式
(z-π/2)tan(z)=tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)
は積分も出来る為、
コーシーの積分定理により、
a(-2)={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r]{tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)}dz=0
となります。
」

とn=-2の時にa(-2)=0となりますが、

2024.8.29 19:23の解答の

「f(z)=tan(z)
の
z=π/2のまわりの
ローラン展開

f(z)=tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n

のn次係数a(n)は

(z-π/2)tan(z)のテイラー展開のn+1次の係数に一致するから

a(n)={1/(n+1)!}lim{z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

と求められるのです

a(-1)=lim{z->π/2}(z-π/2)tan(z)=-1
a(0)=lim{z->π/2}(d/dz)(z-π/2)tan(z)=0
a(1)=(1/2)lim{z->π/2}(d/dz)^2(z-π/2)tan(z)=1/3
a(2)=(1/6)lim{z->π/2}(d/dz)^3(z-π/2)tan(z)=0
…
というように
a(n)=0になることも
a(n)≠0になることもどちらもありえて
(z-π/2)tan(z)が正則であるかどうかには関係ありません

tan(z)=Σ[n=-1～∞]a(n)(z-π/2)^n

↓奇数次項、偶数次項に分ける

tan(z)=Σ[k=0～∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)+Σ[k=0～∞]a(2k)(z-π/2)^(2k) …(1)

↓zをπ-zに置き換えると

tan(π-z)=Σ[k=0～∞]a(2k-1)(π/2-z)^(2k-1)+Σ[k=0～∞]a(2k)(π/2-z)^(2k)

↓tan(π-z)=-tan(z),(π/2-z)^(2k-1)=-(z-π/2)^(2k-1).(π/2-z)^(2k)=(z-π/2)^(2k) だから

-tan(z)=-Σ[k=0～∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)+Σ[k=0～∞]a(2k)(z-π/2)^(2k)

↓これと(1)を加えると

0=2Σ[k=0～∞]a(2k)(z-π/2)^(2k)

↓両辺を2で割ると

0=Σ[k=0～∞]a(2k)(z-π/2)^(2k)

↓これを(1)に代入すると

tan(z)=Σ[k=0～∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)

だから

nが偶数のとき

a(n)=a(2k)=0

となるのです」

より、kに代入できる最小の値は、
tan(z)=Σ[k=0～∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0～∞]より、0と書いてあります。

だとしたら、a(n)=a(2k)のkに0を代入した場合、a(n)=a(2k)=a(0)となり、

2024.8.29 21:01の解答に書いてある様なa(-2)を導けません。

2024.8.29 21:01の解答に書いてある様に、a(-2)を導くならば、kに代入できる最小の値は-1である必要があると思うのですが、

なぜ2024.8.29 19:23の解答のtan(z)=Σ[k=0～∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0～∞]よりkの最小の値は0なのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます。
  
  ありものがたり様、
  ちなみに、2024.10.8 13:49に頂いた解答の2024.10.9 06:06の「質問者さんからお礼」に書いたkに関する質問とは別のもう一つの質問に関して正しいか正しくないかの解答を頂けないでしょうか？
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2024/10/16 00:28

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/09 06:41

ｈ = k-1 だよ。

解らないの？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

ちなみに、2024.10.8 13:49に頂いた解答の2024.10.9 06:06の「質問者さんからお礼」に書いたkに関する質問とは別のもう一つの質問に関して正しいか正しくないかの解答を頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/10/13 04:32

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/08 13:49

正しくは...

まず lim[z→π/2] (z-π/2)tan(z) = -1 が収束することを見て、
g(π/2) = -1,　z≠π/2 のとき g(z) = (z-π/2)tan(z) で定義した
g(z) が z = π/2 で正則であることが判り、 g(z) がテイラー展開できる。
そのテイラー展開を g(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k と置くと

両辺を z-π/2 で割って tan(z) = Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^h となり、
これを tan(z) のローラン展開 tan(z) = Σ[n=-∞～+∞] a(n)(z-π/2)^n と
比較すると、 n ≦ -2 のとき a(n) = 0 であることが判って
tan(z) = Σ[n=-1～+∞] a(n)(z-π/2)^n と書ける。

この時点で、 a(-2) = 0 は既に示されてある。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>> そのテイラー展開を g(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k と置くと

両辺を z-π/2 で割って tan(z) = Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^h となり、

に関して、g(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k の両辺を z-π/2 で割って tan(z) = Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^h と導く際にg(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k に含まれるkはどこに行ってしまったのでしょうか？


また、
2024.8.29 21:01の解答の

「
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)は=-1に収束する為、
(z-π/2)tan(z)の式は正則であり、
微分出来る式
(z-π/2)tan(z)=tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)
は積分も出来る為、
コーシーの積分定理により、
a(-2)={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r]{tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)}dz=0
となります。
」

はn≦-2の時の場合の話で、


2024.8.29 19:23の解答の

「f(z)=tan(z)
の
z=π/2のまわりの
ローラン展開...

...nが偶数のとき

a(n)=a(2k)=0

となるのです」

はn≧-1の時の場合の話である為、

すなわち、n≦-2の時とn≧-1の時と異なるnの場合わけの話である為、


2024.8.29 19:23の解答はn≧-1の時の話である為、kに代入できる最小の値は、
tan(z)=Σ[k=0～∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0～∞]より、0であるが、

a(n)=a(2k)のkに0を代入した場合、a(n)=a(2k)=a(0)となり、


2024.8.29 21:01の解答はn≦-2の時の話である為、2024.8.29 21:01の解答に書いてあるa(-2)を導けないと理解したのですが、正しいでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/10/09 06:06

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/08 13:35

酷く冗長な質問文で非常に読みにくいが、

質問の内容自体は明解かな。

a(n) = a(2k) の k にどんな値が代入できるか？は、
a(n) をどのように定義したのかで決まる。
そんだけ。

例によっていつものごとく、変数の定義を書かずに
式だけ並べてるから、 a(n) の定義が不明瞭になる。

今回の質問は
＞ a(n) = {1/(n+1)!} lim_(z->π/2} (d/dz)^(n+1) (z-π/2)tan(z)
と n の範囲を書かずに話が始まっているが、
この式へ代入できるなるべく広い範囲を考えるなら
n≧-1 でなくてはならない。 n = -2 にはできない。

一方、2つ目の引用では
＞ f(z) = tan(z) の z = π/2 のまわりのローラン展開
＞ f(z) = tan(z) = Σ[n=-1～∞] a(n)(z-π/2)^n の n 次係数 a(n) は
と言っており、それが a(n) の定義なら
a(n) は -∞ から +∞ まで全ての整数 n に対して定義されているわけだ。

ローラン展開は、 f(z) = Σ[n=-∞～+∞] a(n)(z-π/2)^n だからね。
f(z) = Σ[n=-1～∞] a(n)(z-π/2)^n になってしまったのは、
n ≦ -2 に対して a(n) = 0 だという結論を先取りして
n=-∞〜-2 の部分を省略して書いたからに過ぎない。

ローラン展開が f(z) = Σ[n=-1～∞] a(n)(z-π/2)^n と書ける
ことを利用して a(-2) = 0 を導こうというのは、要するに
n ≦ -2 に対して a(n) = 0 であることを利用して a(-2) = 0 を示そう
としているのだから、循環論法だ。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/08 13:24

a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)

が
成り立つのは
n≧-1
のときです

n≦-2のときは
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
は
成り立ちません

n≦-2のとき
a(n)=0

n≧-1
のとき
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)