
2024.8.20 18:17にした質問の2024.8.29 21:01の解答について質問があります。
「
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)は=-1に収束する為、
(z-π/2)tan(z)の式は正則であり、
微分出来る式
(z-π/2)tan(z)=tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)
は積分も出来る為、
コーシーの積分定理により、
a(-2)={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r]{tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)}dz=0
となります。
」
とn=-2の時にa(-2)=0となりますが、
2024.8.29 19:23の解答の
「f(z)=tan(z)
の
z=π/2のまわりの
ローラン展開
f(z)=tan(z)=Σ[n=-1~∞]a(n)(z-π/2)^n
のn次係数a(n)は
(z-π/2)tan(z)のテイラー展開のn+1次の係数に一致するから
a(n)={1/(n+1)!}lim{z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
と求められるのです
a(-1)=lim{z->π/2}(z-π/2)tan(z)=-1
a(0)=lim{z->π/2}(d/dz)(z-π/2)tan(z)=0
a(1)=(1/2)lim{z->π/2}(d/dz)^2(z-π/2)tan(z)=1/3
a(2)=(1/6)lim{z->π/2}(d/dz)^3(z-π/2)tan(z)=0
…
というように
a(n)=0になることも
a(n)≠0になることもどちらもありえて
(z-π/2)tan(z)が正則であるかどうかには関係ありません
tan(z)=Σ[n=-1~∞]a(n)(z-π/2)^n
↓奇数次項、偶数次項に分ける
tan(z)=Σ[k=0~∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)+Σ[k=0~∞]a(2k)(z-π/2)^(2k) …(1)
↓zをπ-zに置き換えると
tan(π-z)=Σ[k=0~∞]a(2k-1)(π/2-z)^(2k-1)+Σ[k=0~∞]a(2k)(π/2-z)^(2k)
↓tan(π-z)=-tan(z),(π/2-z)^(2k-1)=-(z-π/2)^(2k-1).(π/2-z)^(2k)=(z-π/2)^(2k) だから
-tan(z)=-Σ[k=0~∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)+Σ[k=0~∞]a(2k)(z-π/2)^(2k)
↓これと(1)を加えると
0=2Σ[k=0~∞]a(2k)(z-π/2)^(2k)
↓両辺を2で割ると
0=Σ[k=0~∞]a(2k)(z-π/2)^(2k)
↓これを(1)に代入すると
tan(z)=Σ[k=0~∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)
だから
nが偶数のとき
a(n)=a(2k)=0
となるのです」
より、kに代入できる最小の値は、
tan(z)=Σ[k=0~∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0~∞]より、0と書いてあります。
だとしたら、a(n)=a(2k)のkに0を代入した場合、a(n)=a(2k)=a(0)となり、
2024.8.29 21:01の解答に書いてある様なa(-2)を導けません。
2024.8.29 21:01の解答に書いてある様に、a(-2)を導くならば、kに代入できる最小の値は-1である必要があると思うのですが、
なぜ2024.8.29 19:23の解答のtan(z)=Σ[k=0~∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0~∞]よりkの最小の値は0なのでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。
A 回答 (4件)
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No.3
- 回答日時:
正しくは...
まず lim[z→π/2] (z-π/2)tan(z) = -1 が収束することを見て、
g(π/2) = -1, z≠π/2 のとき g(z) = (z-π/2)tan(z) で定義した
g(z) が z = π/2 で正則であることが判り、 g(z) がテイラー展開できる。
そのテイラー展開を g(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k と置くと
両辺を z-π/2 で割って tan(z) = Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^h となり、
これを tan(z) のローラン展開 tan(z) = Σ[n=-∞~+∞] a(n)(z-π/2)^n と
比較すると、 n ≦ -2 のとき a(n) = 0 であることが判って
tan(z) = Σ[n=-1~+∞] a(n)(z-π/2)^n と書ける。
この時点で、 a(-2) = 0 は既に示されてある。
ありがとうございます。
>> そのテイラー展開を g(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k と置くと
両辺を z-π/2 で割って tan(z) = Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^h となり、
に関して、g(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k の両辺を z-π/2 で割って tan(z) = Σ[h=-1〜+∞] b(h+1)(z-π/2)^h と導く際にg(z) = Σ[k=0〜+∞] b(k)(z-π/2)^k に含まれるkはどこに行ってしまったのでしょうか?
また、
2024.8.29 21:01の解答の
「
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)は=-1に収束する為、
(z-π/2)tan(z)の式は正則であり、
微分出来る式
(z-π/2)tan(z)=tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)
は積分も出来る為、
コーシーの積分定理により、
a(-2)={1/(2πi)}∫{|z-π/2|=r]{tan(z)/(z-π/2)^(-2+1)}dz=0
となります。
」
はn≦-2の時の場合の話で、
2024.8.29 19:23の解答の
「f(z)=tan(z)
の
z=π/2のまわりの
ローラン展開...
...nが偶数のとき
a(n)=a(2k)=0
となるのです」
はn≧-1の時の場合の話である為、
すなわち、n≦-2の時とn≧-1の時と異なるnの場合わけの話である為、
2024.8.29 19:23の解答はn≧-1の時の話である為、kに代入できる最小の値は、
tan(z)=Σ[k=0~∞]a(2k-1)(z-π/2)^(2k-1)の[k=0~∞]より、0であるが、
a(n)=a(2k)のkに0を代入した場合、a(n)=a(2k)=a(0)となり、
2024.8.29 21:01の解答はn≦-2の時の話である為、2024.8.29 21:01の解答に書いてあるa(-2)を導けないと理解したのですが、正しいでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。
No.2
- 回答日時:
酷く冗長な質問文で非常に読みにくいが、
質問の内容自体は明解かな。
a(n) = a(2k) の k にどんな値が代入できるか?は、
a(n) をどのように定義したのかで決まる。
そんだけ。
例によっていつものごとく、変数の定義を書かずに
式だけ並べてるから、 a(n) の定義が不明瞭になる。
今回の質問は
> a(n) = {1/(n+1)!} lim_(z->π/2} (d/dz)^(n+1) (z-π/2)tan(z)
と n の範囲を書かずに話が始まっているが、
この式へ代入できるなるべく広い範囲を考えるなら
n≧-1 でなくてはならない。 n = -2 にはできない。
一方、2つ目の引用では
> f(z) = tan(z) の z = π/2 のまわりのローラン展開
> f(z) = tan(z) = Σ[n=-1~∞] a(n)(z-π/2)^n の n 次係数 a(n) は
と言っており、それが a(n) の定義なら
a(n) は -∞ から +∞ まで全ての整数 n に対して定義されているわけだ。
ローラン展開は、 f(z) = Σ[n=-∞~+∞] a(n)(z-π/2)^n だからね。
f(z) = Σ[n=-1~∞] a(n)(z-π/2)^n になってしまったのは、
n ≦ -2 に対して a(n) = 0 だという結論を先取りして
n=-∞〜-2 の部分を省略して書いたからに過ぎない。
ローラン展開が f(z) = Σ[n=-1~∞] a(n)(z-π/2)^n と書ける
ことを利用して a(-2) = 0 を導こうというのは、要するに
n ≦ -2 に対して a(n) = 0 であることを利用して a(-2) = 0 を示そう
としているのだから、循環論法だ。
No.1
- 回答日時:
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
が
成り立つのは
n≧-1
のときです
n≦-2のときは
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
は
成り立ちません
n≦-2のとき
a(n)=0
n≧-1
のとき
a(n)={1/(n+1)!}lim_(z->π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
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