0 < a < 1のとき、log(a)bとlog(b)aの大小を比較せよ。 こちらの問題のbの取る値

0 < a < 1のとき、log(a)bとlog(b)aの大小を比較せよ。

こちらの問題のbの取る値の範囲について質問させてください。(解答は長くなってしまうので省略します。)

問題文、真数条件、底の条件より
0 < a < 1, 0 < b < 1, 1 < b
と記載があるのですがbの範囲についてよくわかりません。


以下自分で考えたこと
--------------------------------------------------
log(a)bより、b > 0 ①

log(b)aより、 b ≠ 1,b > 0 ②

①、②より、bは1以外の整数をとることは理解できたのですが
下記のように1より小さい値になるのはなぜでしょうか？
0 < b < 1, 1 < b

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/02 09:19

＞ bは1以外の整数をとることは理解できたのですが

そうではなくて、b は 1 以外の正数をとり得ます。
それを表したのが①,②です。

log(b)a = log(c)a / log(c)b ですからね。

この回答へのお礼

理解しました！！
ありがとうございます♪

お礼日時：2024/11/02 09:37

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/02 15:33

0<a<1

のとき

log(a)b
log(b)a
の
真数条件、底の条件より

0<b<1.または.1<b

0<b<a<1のとき

1<1/a<1/b

0<log(1/a)<log(1/b)

log(b)a
=(loga)/logb
=(-loga)/(-logb)
={log(1/a)}/log(1/b)
<1
<{log(1/b)}/log(1/a)
=(-logb)/(-loga)
=(logb)/loga
=log(a)b

∴
log(b)a<log(a)b

0<a<b<1のとき

1<1/b<1/a

0<log(1/b)<log(1/a)

log(a)b
=(logb)/loga
=(-logb)/(-loga)
={log(1/b)}/log(1/a)
<1
<{log(1/a)}/log(1/b)
=(-loga)/(-logb)
=(loga)/logb
=log(b)a

∴
log(a)b<log(b)a

1<b<1/a のとき

0<logb<log(1/a)

-log(a)b
=-(logb)/loga
=(logb)/(-loga)
=(logb)/log(1/a)
<1
<{log(1/a)}/logb
=(-loga)/logb
=-(loga)/logb
=-log(b)a

-log(a)b<-log(b)a
↓両辺にlog(b)a+log(a)bを加えると
∴
log(b)a<log(a)b

1<1/a<b のとき

0<log(1/a)<logb

-log(b)a
=-(loga)/logb
=(-loga)/logb
={log(1/a)}/logb
<1
<(logb)/log(1/a)
=(logb)/(-loga)
=-(logb)/loga
=-log(a)b

-log(b)a<-log(a)b
↓両辺にlog(a)b+log(b)aを加えると
∴
log(a)b<log(b)a
∴
0<b<a<1.または.1<b<1/a のとき　log(b)a<log(a)b
0<a<b<1.または.1<1/a<b のとき　log(a)b<log(b)a

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2024/11/02 14:31

「 0 < b < 1, 1 < b 」→ 別の書き方をすれば、

「 0<b 但し b≠1 」=「0より大きく1でない実数」。
対数関数の 底の条件 そのものです。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/02 09:47

0 < a < 1, 0 < b < 1, 1 < b

は
(0 < a < 1)&{(0 < b < 1).or.(1 < b)}
(0 < a < 1)かつ{(0 < b < 1).または.(1 < b)}
という意味です

bは1より小さい値になるという意味ではありません

(bは1より小さい)かまたは(bは1より大きい)値になるという意味です

No.1 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2024/11/02 08:55

質問者様が考えた①、②を言い換えたのが、0 < b < 1, 1 < b

ではありませんか？