高校数学についてです。 (1,-1,0)と(1,1,2)を結ぶ直線上の点は実数sを用いて(x,y,z

高校数学についてです。
(1,-1,0)と(1,1,2)を結ぶ直線上の点は実数sを用いて(x,y,z)=(1,-1,0)+s(0,2,2)と表すことができるとあったのですがどう考えたらこうなるんですか？
考え方を教えてほしいです。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/11 10:20

(1,-1,0)と(1,1,2)を結ぶ直線上の点を(x,y,z)

直線の傾きをs
とすると

(1,-1,0)のx座標は1
(1,1,2)のx座標も1
だから
x=1…(1)

(1,-1,0)のy座標は-1
(1,1,2)のy座標は1
傾きは
s={y-(-1)}/{1-(-1)}=(y+1)/2
2s=y+1
∴
y=2s-1…(2)

(1,-1,0)のz座標は0
(1,1,2)のz座標は2
傾きは
s=(z-0)/(2-0)=z/2
∴
z=2s
↓(1),(2)とこれから
(x,y,z)=(1,2s-1,2s)
(x,y,z)=(1,-1,0)+(0,2s,2s)
∴
(x,y,z)=(1,-1,0)+s(0,2,2)

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/07 09:14

(1,-1,0)＝A, (1,1,2)＝B とすると

(0,2,2)　は B-A つまり2点の差分です。
A に B-A を足すと B になるので
B-A は Aから見た B の方向を表しているとも言えます。

A から B-A 方向に ABを通る直線上の点が有りますから
その点を P とすると
P = A + s(B-A)
とかけます。s=0 なら P = A, s = 1 なら P = B になります。

この形より、AとBに対して対称な
P = A + s(B-A)
= (1-s)A + sB = tA + sB (t + s = 1)

の方が美しいので好まれますね。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/11/06 22:58

> どう考えたら

一次式のグラフが直線になる、ということを認めるなら、(1,-1,0)+s(0,2,2)はsの一次式だから直線に違いない。で、s=0なら(1,-1,0)、s=1なら(1,1,2)になるから、この直線がこれらの点を通るとわかる。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/06 18:31

(1,-1,0) から (1,1,2) 方向へ向かって、

この2点を結ぶ線分の s 倍の長さ行った点は (1,-1,0) + s { (1,1,2) - (1,-1,0) } です。
(1,-1,0) を始点 (1,1,2)を終点とするベクトルが (1,1,2) - (1,-1,0) ですからね。

{　} 内を計算すると、(1,-1,0) + s(0,2,2) になっています。
{　} を展開して (1-s)(1,-1,0) + s(1,1,2) という形も、よく使われます。