載せた画像の2つの式は間違っていますが、 「特異点における残差は、ローラン展開の係数 c_{-1}

載せた画像の2つの式は間違っていますが、
「特異点における残差は、ローラン展開の係数 c_{-1} と一致します。」と言われたのですが、
f(z)=1/(z^2-1)あるいはf(z)=tan(z)の式を使って特異点における残差がローラン展開の係数 c_{-1} と一致するまでを過程の計算も用いて教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

No.15 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/06 09:05

No.13 誤字訂正：

∮ f(z)/(z-a)^(n+1) dz = c(n)・2πi
になる。

f(z) が z = a で正則な場合には、 f(a) = c(0) だから
∮ f(z)/(z-a)^(0+1) dz = f(a)・2πi

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/06 04:07

#13の

「
f(z) が z = a で正則な場合には、 f(a) = c(0) だから
∮ f(z)/(z-a)^(n+1) dz = f(a)・2πi
でもある。
」は間違いで正しくは

「
f(z) が z = a で正則な場合には、 f(a) = c(0) だから
∮ f(z)/(z-a) dz = f(a)・2πi
でもある。
」

f(z) が z = a で正則な場合には、
z=a は　f(z) の特異点ではない
f(z) の z=a でのローラン展開はテイラー展開になる

No.13 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/05 20:58

←No.9 補足

No.2 の説明、ちゃんと目を通したの？

f(z) のローラン展開が f(z) = Σ[k=-∞,+∞] c(k) (z-a)^k だとすると、
収束円環の内部では級数は広義一様収束だから、
円環内を通って a の周りを囲む閉路上で積分すれば
項別積分ができて
∮ f(z)/(z-a)^(n+1) dz = ∮ Σ[k=-∞,+∞] c(k) (z-a)^k (z-a)^-(n+1) dz
　　　　　　　　　　= Σ[k=-∞,+∞] c(k) ∮ (z-a)^(k-n-1) dz.

∮ (z-a)^ｍ dz は、No.2 で説明したおり
m = -1 のとき 2πi,
m ≠ -1 のとき 0 になるから、

∮ f(z)/(z-a)^(n+1) dz = c(n)・2πi
になる。

f(z) が z = a で正則な場合には、 f(a) = c(0) だから
∮ f(z)/(z-a)^(n+1) dz = f(a)・2πi
でもある。

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/05 15:41

②画像の通り

③
f(z)のz=cでのローラン展開

f(z)=Σ[n=-∞～∞]a(n)(z-c)^n

の

a(n)
と
c
を
同じ変数　a を使ってはいけないから
z=a
を
z=c　に変更しました

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/04 19:50

例えば

f(z)=1/(z^2-1)
は
z=a=1 で正則でない

f(a)=f(1)=∞　は存在しない

f(a)=f(1)=∞≠ a(0)=(1/2πi) ∮ f(z)/(z-a) dz
だから
「コーシーの積分公式」は成り立たない

f(z)=tan(z)
は
z=a=π/2 で正則でない

f(a)=f(π/2)=∞　は存在しない

f(a)=f(π/2)=∞ ≠ a(0)=(1/2πi) ∮ f(z)/(z-a) dz
だから
「コーシーの積分公式」は成り立たない

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

こちらの解答よりNo.10の「質問者さんからのお礼」の①の質問は解決しました。

どうか、②、③についても解答して頂けると嬉しいです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/12/04 22:30

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/04 11:00

質問に載せた写真の上の式はNo.1の解答より「コーシーの積分公式」を勘違いしたもので、

f(z)はz=aで正則でないのだからf(a)は存在しないのだから
f(a) = (1/2πi) ∮ f(z)/(z-a) dzではなく、
正しくは

右は

f(z)/(z-a)のz=aでの留数

a(0) = (1/2πi) ∮ f(z)/(z-a) dz

であり、

左は

f(z)のz=aでの留数

a(-1) = (1/2πi) ∮ f(z) dz

であり、

質問に載せた写真の下の式はこちらの解答の画像の左下より
「
f(z)のz=aでの留数の定義
」
の式である

この回答へのお礼

改めて、

質問に載せた写真の上の式はNo.1の解答より「コーシーの積分公式」を勘違いしたもので、正しくはf(a) = (1/2πi) ∮ f(z)/(z-a) dzだと改めてわかり、

質問に載せた写真の下の式はこちらの解答の画像の左下より「(f(z)のz=aでの)留数の定義」の式と言う事が改めてわかりました。


質問が3つあります。

①
>> f(z)はz=aで正則でないのだからf(a)は存在しないのだから
f(a) = (1/2πi) ∮ f(z)/(z-a) dzではなく、


に関して、

No.8の解答の
「「コーシーの積分公式」は
f(z)がz=aで正則であるとき成り立つ」との事なですが、

頂いたNo.8の解答に対して
「質問者さんからのお礼」で
「「コーシーの積分公式」はなぜf(z)がz=aで正則であるときにしか成り立たないのでしょうか？」と質問しましたが、

なぜ f(z)はz=aで正則でない時は、f(a)は存在しないのでしょうか？


②
>>右は

f(z)/(z-a)のz=aでの留数

a(0) = (1/2πi) ∮ f(z)/(z-a) dz

であり、

左は

f(z)のz=aでの留数

a(-1) = (1/2πi) ∮ f(z) dz

であり、


に関してなのですが、
どの画像の式に対して右や左と言っているのでしょうか？


③
こちらの解答の画像の左下の式は「Res(f,c)」となっていますが、
解答の画像の左下の式は「(f(z)のz=aでの)留数の定義」の式なのに「Res(f,a)」ではなく、「Res(f,c)」なのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/12/04 19:49

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/04 07:47

←No.7 補足

だから、最初からそう言ってんじゃないの。

ちな、No.2 の証明を理解すると、
f(a) が正則のとき f(a) = Res[ f(z)/(z-a), z=a ] になる理由も、
f(z) = Σ[k=-∞,+∞] c(k) (z-a)^k に対して
c(n) = Res[ f(z)/(z-a)^(n+1), z=a ] になる理由も、
わかるはず。

この回答へのお礼

>> ちな、No.2 の証明を理解すると、
f(a) が正則のとき f(a) = Res[ f(z)/(z-a), z=a ] になる理由も、
f(z) = Σ[k=-∞,+∞] c(k) (z-a)^k に対して
c(n) = Res[ f(z)/(z-a)^(n+1), z=a ] になる理由も、
わかるはず。


どうか、
f(a) が正則のとき f(a) = Res[ f(z)/(z-a), z=a ] になる理由と、
f(z) = Σ[k=-∞,+∞] c(k) (z-a)^k に対して
c(n) = Res[ f(z)/(z-a)^(n+1), z=a ] になる理由をわかりやすく説明して頂けないでしようか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/12/04 19:03

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/04 04:14

「コーシーの積分公式」は

f(z)がz=aで正則であるとき成り立つ

留数は
f(z)に対してz=aが孤立特異点であるとき

Res(f(z),z=a)={1/(2πi)}∫[|z-a|=r]f(z)dz

と定義される

f(z)に対してz=aが孤立特異点であるときは
f(z)がz=aで正則でないから
「コーシーの積分公式」は
成り立たないから

f(a) = (1/2πi) ∮ f(z)/(z-a) dz
は正しくない

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「コーシーの積分公式」は
なぜf(z)がz=aで正則であるときにしか成り立たないのでしょうか？

お礼日時：2024/12/04 18:58

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/03 20:19

画像の通り

この回答へのお礼

ありがとうございます。

すなわち、
質問に載せた写真の上の式はNo.1の解答より「コーシーの積分公式」を勘違いしたもので、正しくはf(a) = (1/2πi) ∮ f(z)/(z-a) dzであり、

質問に載せた写真の下の式はこちらの解答の画像の左下より「留数の定義」の式と言う事で正しいでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2024/12/04 03:58

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/03 18:36

＞ あの写真の上の式はn=1の時のa(-1)の式である為、「留数の定義」の式で、

＞ 写真の下の式はNo.1の解答より「コーシーの積分公式」を勘違いした式ではないのでしょうか？

何を言い張っているのか...
下の式が留数の定義で、右辺に「留数」という名前を付けて
それを左辺の記号で表すことに決めるための式だよ。

上の式は、コーシーの積分公式 f(a) = (1/2πi) ∮ f(z)/(z-a) dz を
間違えて Res(f,a) = (1/2πi) ∮ f(z)/(z-a) dz と書いたものだろ？

「n=1の時のa(-1)の式」については、何が n なのか、何が a(n) なのか
定義を書かずに議論しようとするのは、全くの無意味。