積分で絶対値が中にあるときってどういうときに外に出せますか？符号変化が無ければ絶対値は外に出せますか

積分で絶対値が中にあるときってどういうときに外に出せますか？符号変化が無ければ絶対値は外に出せますか？
逆に、外に絶対値があったときに中に入れられるときも教えてください。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2025/04/25 23:28

f(x) > 0 となる x の範囲では

　|f(x)| = f(x) (> 0)

f(x) < 0 となる x の範囲では
　|f(x)| = -f(x) (> 0)

f(x) = 0 となる x の値では
　|f(x)| = f(x) = -f(x) (= 0)

となるように絶対値を外せばよいです。

絶対値が付いているということは、被積分関数は常に正か 0 ということですから、そのように置き換えてから積分すればよいです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/25 22:35

∫[a,b] ｜f(x)｜ dx を計算したいなら、

積分範囲 a≦x≦b を
f(x) ≧ 0 となる範囲 x∈S1 と
f(x) < 0 となる範囲 x∈S2 に分けて、
∫[a,b] ｜f(x)｜ dx = ∫[S1] ｜f(x)｜ dx + ∫[S2] ｜f(x)｜ dx
　　　　　　　= ∫[S1]{ f(x) }dx + ∫[S2]{ -f(x) }dx
　　　　　　　= ∫[S1] f(x) dx - ∫[S2] f(x) dx
とすればいい。
式から絶対値記号が無くなってるね？

ここから先は、具体的な f(x), a, b と S1, S2 について
∫[S1] f(x) dx - ∫[S2] f(x) dx を計算する。