物理学に強い方に質問です。 電磁気学でわからないことがあります。 U=1/2 ∫ρφdV ガウスの法

物理学に強い方に質問です。

電磁気学でわからないことがあります。

U=1/2 ∫ρφdV

ガウスの法則微分形より
U=1/2 ∫ε(∇・E)φdV

ベクトル公式より
∇・(φE)=∇φ・E+φ(∇・E)
また、電場と電位の関係 E=-∇φから

U=ε/2 ∫{∇・(φE)}dV+ε/2 ∫ E^2dV
ガウスの発散定理より
U=ε/2 ∫(φE)・ndS+ε/2 ∫ E^2dV

ここからわかりません。

第1項が0になることを示したいです。
また、なぜ第1項だけガウスの発散定理を使うのでしょうか。

chatgpt,grokなどのaiの利用はやめてください。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2025/05/28 22:39

んまぁ、だいたいそういうことなんだけど

No.1のような定量評価のうえでの結論です：
ｒが十分大きいとき表面Sの上で
∫(φE)・ndS＝∫(1/r)(n/r^2)・nｄS＝(1/r)(1/r^2)∫dS
＝(1/r)(1/r^2)4πr^2＝１/r→0（ｒ→∞）

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2025/05/27 17:41

ガウスの発散定理が使える体積積分の被積分関数は

∇・Aの形の関数だけ、
だから
∇φ・E　や　φ(∇・E)　の形の体積分には
使えません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

そうですね。∇・Aになっているのは第1項のみでした。
ありがとうございました。表面Sのみのことを考えるのであって、領域Vの内部のことは何も考えずに、表面Sでは電位、電場が0と見れるので、被積分関数は0とみれるので第1項目は0とみていいということですね。

お礼日時：2025/05/28 18:37

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2025/05/27 16:56

その電荷分布の定点Oを中心半径rの球体の内部と表面に対して

ガウス定理を適用しているわけだね、
で、その表面上についてはφは1/r、Eは1/r^2の程度で
ｒ→∞のときそれぞれ0に収束するわけだから
面積分は1/rかける1/r^2かける4πr^2≒1/rの程度で
ｒ→∞のとき0に収束するので
面積分の項が消えます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

方針はわかりました。

しかしモヤモヤは残ったままです。
なぜ第2項目はガウスの発散定理を用いなかったでしょうか。
同じように考えればE^2~1/r^4となり第2項目も消えちゃいませんか。

お礼日時：2025/05/27 17:09