基数変換について

次の式は、何進法で成立するか。

1015÷5＝131（余り0）

という問題で、解答は「7進法」となります。

解答では131×5=1015と考えるとわかりやすと
聞いたのですが、全くわからない状態です。

1桁ずつ計算していくとのことですが、
解法の仕組みが理解できませんので、
ご協力ヨロシクお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： agricap 回答日時： 2006/05/28 18:39

１０進数に直して考えたらどうでしょう？

Ｘ進数を(Ｘ)で表すことにすると、

131(7)=1*7^2+3*7+1=71(10)
1015(7)=1*7^3+1*7+5=355(10)
5(7)=5(10)

したがって、71(10)*5(10)=355(10)
になりますね。

７だけ考えるとすればこうなりますが、考え方の順番としては、
１．まず５があるから答えは６進法以上である。
２．１０進法では、１３１×５＜１０１５　だから、答えは１０
　より小さい。
３．答えは６，７，８，９のどれかだから、６から順番にやって
　みる。
という感じでしょうか。

この回答への補足

丁寧な解答ありがとうございます。

解答では
1桁目：131*5＝1015
2桁目：131*5＝1015　3*5＝1なので、14で桁上がりをしています
3桁目：131*5＝1015　1*5なので、2桁目の桁上がりと合わせて
一つ桁上がりします。
したがって、7進数となります。

この解答がまったくわからないのですね。
2桁目、3桁目の計算がさっぱりです。

別解答として、知りたいと思っています。

補足日時：2006/05/28 20:06

No.5 回答者： t_leger_b 回答日時： 2006/06/27 19:05

NO1さんの改良版？です。

求めるべき基数をaとすると

1015÷5＝131（余り0）　→　5<a・・・(1)

次に1015÷5＝131を10進数に変える
131*5＝1015
↓10進数に変換すると
(a^2+3a+1)*5＝a^3+a+5
5a^2+15a+5＝a^3+a+5
a^3-5a^2-14a＝0
(a+2)(a-7)＝0
a＝-2or7・・・(2)
（↑みずらいな～。実際に紙に書いて解いてみて！めちゃ簡単！）

(1)(2)よりa＝7 ってそもそも基数でマイナスはありえないか

No.4 回答者： KIYORING 回答日時： 2006/06/07 22:46

>解答では

>1桁目：131*5＝1015
>2桁目：131*5＝1015　3*5＝1なので、14で桁上がりをしています
>3桁目：131*5＝1015　1*5なので、2桁目の桁上がりと合わせて
>一つ桁上がりします。
>したがって、7進数となります。
>
>この解答がまったくわからないのですね。
>2桁目、3桁目の計算がさっぱりです。

みなさんが答えられているように、10進数で考えるのももちろんよいと思います。
でもとりあえず解答の考え方も知りたいですよね。

131×5=1015
つまり
　 １３１
×　　５
-------
　　　 ５
　？１
　５
-------
１０１５

ということですよね。段ズレしてたらゴメンナサイ。

（１）出てくる数字で最大のものは？
5。つまり5では桁上がりしない。
ということは、6以上の進数であることがわかる。

（２）1桁目の掛け算は？
1×5=5。特に何もわからない。

（３）2桁目の掛け算は？
3×5=15のところ「?1」となっている。
つまり15-1の14が繰り上がっている。
14を割り切れる進数であることがわかる。
これで、7進数か14進数とわかる。
7進数なら2が、14進数なら1が繰り上がっている。

（４）3桁目の掛け算は？
1×5=5。
これに2桁目の繰り上がり分を足して10となっている。
10ということはちょうど繰り上がったということ。
7進数なら、5+2=10。つじつまが合う。
14進数なら、5+1=10。10でなく6のハズ。

これで答えは7進数であると判明する。

こんなんでいかがでしょうか？
私なら10進数にせずに、この解き方でいくと思います。
解き方っていくつもあって、本によっては
「なんでわざわざこんな難しく考えるんだろ？」というのもありますよね。

No.3 回答者： Missing0001 回答日時： 2006/06/02 15:21

情報処理の試験だけだったら大体4択だし、

正確でなくてもいいなら・・・

下位一桁だけでまず計算(1×5=5)が正しいか調べる方法とか・・・
こんな方法でも時間短縮できたりするよ
まぁ、質問とはあんまし関係ないか？

No.2 回答者： agricap 回答日時： 2006/05/28 21:12

私なら１０進数に直しますが・・・

------------------------------------------------------------
７進数で直接計算するとしたら、以下のようになります。
1桁目： 1*5= 5
2桁目： 30*5=210(2繰り上がり)
　　　　（十進数で考えれば、3*5=15で、7で割ると2余り1だから、
　　　　　2繰り上がって、自身の桁は1になる)
3桁目：100*5=500

すべての桁を加えると、5+210+500=1015となります。
（3桁目が2+5=7ですから、1繰り上がることになります。）

------------------------------------------------------------
このような考え方を理解したうえで、
> 1桁目：131*5＝1015

1*5=5 になっています。ここでわかることは、5という数字が出てきます
から、答えは6以上、ということだけです。
6進数以上であれば、全部1*5=5 ですから、ここではそれ以上の情報は
ありません。


> 2桁目：131*5＝1015　3*5＝1なので、14で桁上がりをしています

3*5=1 になっています。何かが繰り上がって、１余るということです。
10進数でいうと 3*5=15 で、
15÷x＝y 余り 1 (xが求める答え、yが繰り上がる数です）
この時点で、
x=14, y=1 または
x= 7, y=2
の２つのどちらかであることがわかります。


> 3桁目：131*5＝1015　1*5なので、2桁目の桁上がりと合わせて

1*5=0になっています。実際は1繰り上がって4桁目が発生しているので、
1が繰り上がって、0余る、ということです。
2桁目の繰り上がりと合わせて10進数で考えると、1*5=5 ですから、
(5+y)÷x=1 余り 0（xが求める答え）
2桁目の結果と合わせて考えると、
x= 7, y=2
となり、答えは7になります。


とまあ確かに・・・こんな考え方ができれば短時間で問題を解くことが
できそうですが、情報処理技術者試験を考えているとすればそこまで
時間に厳しくはないでしょうから、こんな解き方ができなくてもいいです。
１０進数に直して・・・という考え方で十分でしょう。

それに実用面では、７進数を使うことなんてまずありませんね。
２、４、８、１６、１０ができれば十分です。