SINθ≒COSθを満たす振り子の最大ゆれ角θを求め、
振り子の長さを1mとして、そのときの
振れ幅を計算してみよ

という課題があるのですが、
「SINθ≒COSθ」のところからよくわかりません。
どなたか教えてもらえないでしょうか

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A 回答 (9件)

物理というよりは数学だと思います。


SINθ=COSθを満たすθはθ=45°ですね。つまりSINθ≒COSθを満たす振り子というのは最大ゆれ角約θ≒45°の振り子ということです。御存知とは思いますが念のために≒は約とかおよそという意味です。

長さが1mなので振れ幅は三角比より計算され、振れ幅=1m×sinθとなります。

この回答への補足

お答えありがとうございます。
ですが、問題を間違えていました。
SINθ≒COSθではなく、正しくは
SINθ≒θ をみたすθをもとめよ
でした。本当にすみません。この解を
おしえてもらえないでしょうか

補足日時:2006/11/23 21:44
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計算は自分でやってもらうとして補足です。


sinのグラフはどこでも出てきます。見たことも書いたこともあると思います。原点付近でほぼ直線になっています。角度をラジアンで表したとき、この直線の勾配が1だということです。
振幅が小さいときの振り子の運動は単振動であるというのはこの結果を用いています。
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Excelで比較する場合


"x"と"=sin(x)"
を比較ください.xは度ではなくラジアン(または弧度法)
ですので注意ください.度とラジアンの変換は
ラジアン=π*度/180
となります.後はご自身で
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御存知とは思いますが、宿題等の質問では自分の考えを書くルールになってます。

これだけの回答が付いてるのですから、回答を元に自分なりに考えた結果を書くべきです。
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θ≒0においてsinθ≒θ、つまりsinθとθはθ≒0において非常に近い値を取ります。



詳しく言うと、#4のようにsinθをθ=0の周りでマクローリン展開すると#4の式のような無限の項数の近似式になります。無限に続く項をどこまでも計算するのは現実には必要無いのでどこかで切るのですが、θの次数をどこまで取るかは、θの値と許される精度で決まります。ゼロに非常に近い値ならば少ない項数で高い精度を達成出来ます。ゼロから遠ければ逆ですね。また、必要な精度が高いなら、項数は多く必要です。必要精度が低いなら少なくてもOKです。

問題を別な言葉で言うと「有効数字○○桁でsinθ≒θが成立するには、θは何度以下である必要があるか?」と言ってるのと同じです。だから問題のようにθの実際の大きさを求めよと言われたら、必要な精度の値が要ります。有効数字2桁までとか。それが条件として提示されればsinθとθを比べて、2桁まで等しいためにはθ<0.1(rad)とか、計算出来るのです。

この式は有名です。と言っても最近は電卓で何でもキッチリ数値計算出来てしまうので数値計算ではあまり使いません。sinが入ってると複雑で解析的に計算出来ない場合に、簡略化として使うことがあります。

この回答への補足

質問に不備がありすみません。
有効数字は4桁でした。

補足日時:2006/11/26 09:47
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「SINθ≒θを満たす振り子の最大ゆれ角θを求め、


振り子の長さを1mとして、そのときの
振れ幅を計算してみよ」

どのくらいの精度でSINθ≒θが成立する場合なのかが指定されないと物理の問題として成立しません。

これは授業の問題ですか? それならば授業のときに精度が指定されたのではないですか?

それとも問題集の問題ならば、例題かなにかで精度が指定されていると思います。

この回答への補足

問題集ではなく
振り子の周期と長さから
重力加速度を求める実験の
考察の一部で有効数字は4桁でした

補足日時:2006/11/26 09:45
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>では具体的に


>θはどれくらいの値になるのでしょうか

コレくらい計算できませんか?
sinθのマクローリン展開をしてみると
sinθ=θー1/3!*θ^3+1/5!*θ^5ー...
となり,θが1より小さければ,θの高次の項は小さいので,
sinθ≒θ
と出来ます.どれくらいの値かは,どの程度の精度が必要かによってかわりますので,ご自身で計算されることをすすめます.(Excelにもsinくらいありますのですぐ出来ると思いますが)

この回答への補足

エクセルの関数は一部しかわからないのですが、
よろしければ教えていただけないでしょうか

補足日時:2006/11/26 10:21
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物理の問題として成立してないと思います。


まずは問題を丸写しすることをお勧めします。

この回答への補足

すいません 問題に間違いがありました。
ただしくは下のようになります


SINθ≒θを満たす振り子の最大ゆれ角θを求め、
振り子の長さを1mとして、そのときの
振れ幅を計算してみよ

よろしければ教えていただけないでしょうか

補足日時:2006/11/24 16:47
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この意味は、θが非常に小さいとき、sinθをθで近似できるという意味です。

この回答への補足

では具体的に
θはどれくらいの値になるのでしょうか

補足日時:2006/11/24 16:47
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Aベストアンサー

5点近似公式がどうやって導かれたかを理解すれば,
以下何点近似でも導けます.

Taylor 展開
(1)  f(x0±h) = f(x0) ± f'(x0) h + f''(x0) h^2 / 2!
         ± f^(3)(x0) h^3 / 3! + ・・・
(2)  f(x0±2h) = f(x0) ± f'(x0) 2h + f''(x0) (2h)^2 / 2!
         ± f^(3)(x0) (2h)^3 / 3! + ・・・
から
(3)  {f(x0+2h) - f(x0-2h)} + a{f(x0+h) - f(x0-h)}
を作ってみると,hの偶数乗の項は消えて,奇数乗の項は
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(6)  f(x0±h) = f(x0) ± f'(x0) h + f''(x0) h^2 / 2!
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から
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式の上からは近似の点数を上げるほど近似は良くなりますが,
実際の測定データは誤差を含んでいますし,桁落ちもありますから,
近似の点数を上げれば良いというものでもありません.

5点近似公式がどうやって導かれたかを理解すれば,
以下何点近似でも導けます.

Taylor 展開
(1)  f(x0±h) = f(x0) ± f'(x0) h + f''(x0) h^2 / 2!
         ± f^(3)(x0) h^3 / 3! + ・・・
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Aベストアンサー

No.1です。「補足」を見ました。

ご質問は単に「一般式に初期条件を入れて、その条件下での変位、速度の式を作る」だけのことなので、一体何が分からないのか理解できません。

(1) 画像に書かれた初期条件の場合

一般式
 x(t)=Acosωt+Bsinωt
に t=0 を代入して
 x(0) = A = θ0
より
 x(t)=θ0*cosωt+Bsinωt
これを微分して
 v(t) = -θ0*ω*sinωt + B*ω*cosωt
t=0 のとき
 v(0) = B*ω = v0
より
 B = v0/ω

よって
 x(t)=θ0*cosωt+(B/ω)*sinωt
 v(t) = -θ0*ω*sinωt + v0*cosωt


(2) 質問文に書かれた初期条件の場合

一般式
 x(t)=Acosωt+Bsinωt
に t=π/2ω を代入して
 x(π/2ω) = Acos(π/2) + Bsin(π/2) = B = θ0
より
 x(t)=Acosωt+θ0*sinωt
これを微分して
 v(t) = -A*ω*sinωt + θ0*ω*cosωt
t=π/2ω のとき
 v(π/2ω ) = -A*ω*sin(π/2) + θ0*ω*cos(π/2) = -A*ω = v0
より
 A = -v0/ω

よって
 x(t) = -(v0/ω)*cosωt+θ0*sinωt
 v(t) = v0*sinωt + θ0*ω*cosωt


そもそも単振動の基本はきちんと勉強しましたか?

高校レベルならこちら。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/tannhuriko.html

大学レベルならこちら。
https://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/SimplePendulum.pdf

これを学んだ上で、どこが分からないのか、何を知りたいのかを説明してください。

No.1です。「補足」を見ました。

ご質問は単に「一般式に初期条件を入れて、その条件下での変位、速度の式を作る」だけのことなので、一体何が分からないのか理解できません。

(1) 画像に書かれた初期条件の場合

一般式
 x(t)=Acosωt+Bsinωt
に t=0 を代入して
 x(0) = A = θ0
より
 x(t)=θ0*cosωt+Bsinωt
これを微分して
 v(t) = -θ0*ω*sinωt + B*ω*cosωt
t=0 のとき
 v(0) = B*ω = v0
より
 B = v0/ω

よって
 x(t)=θ0*cosωt+(B/ω)*sinωt
 v(t) = -θ0*ω*sinωt + v0*cosωt


(2) 質問文に書かれた初期...続きを読む

Q近似式の公式・なぜxでなく|x|なのか?

近似式の公式が
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とありました。なぜ|x|が十分に小さいときでないといけないのでしょうか?
 
 0.0000001も-0.0000001も同じくらい小さいのだから
 |x|でなく「xが十分に小さいとき」でもいいのではないでしょうか?

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「 |x| が充分小さいとき」というのは」、「x = 0 の近傍において」という意味であって、「xが小さいとき」とは意味が全くことなります。

多分、質問者さんは、|x| が「小さい」という表現でちょっと混乱しちゃっただけでしょう。「|x|が充分小さい」は「xが0近傍」と同意ですが、単に「xが充分小さい」と言ってしまうと、xの値は-∞を考慮したものになってしまいますので、その絶対値|x|は逆に非常に大きな値の場合を想定することになります。暗黙の了解で・・・は少々乱暴に過ぎるでしょう。

ちなみに、近似式の公式は、
x = a の近傍において(即ち |x-a| が充分小さいとき)
f(x)≒ f(a) + f '(a) (x - a)
というように f(x) の値を線形近似できるということであって、微分可能であることは勿論のことですが、x = a の近傍でしか成立しないことが重要です。質問者さんの例では、a = 0 の場合の式を挙げられているわけで、単に「x が小さい」ではなくて、x が x = 0 の近傍において(x=0 との距離が充分小さい)という意味で |x-0| ( = |x| ) が充分小さい、ということが重要となりますね。そういう意味を重視すると言う点において、絶対値の記号を外そうとするのは、あまり良い試みではないと思います。

「 |x| が充分小さいとき」というのは」、「x = 0 の近傍において」という意味であって、「xが小さいとき」とは意味が全くことなります。

多分、質問者さんは、|x| が「小さい」という表現でちょっと混乱しちゃっただけでしょう。「|x|が充分小さい」は「xが0近傍」と同意ですが、単に「xが充分小さい」と言ってしまうと、xの値は-∞を考慮したものになってしまいますので、その絶対値|x|は逆に非常に大きな値の場合を想定することになります。暗黙の了解で・・・は少々乱暴に過ぎるでしょう。

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大学での数学でマクローリン展開を習えば、xが小さい時
sin x, tan x, cos x の無限級数展開が出来ますので直ぐ分かると思います。
高校レベルでは
|x|が十分小さいとき、それらの関数の近似式は
x=0における接線で近似できることを使えばいいですね。

例えば
f(x)=sin x のとき
f'(x)=cos x,f'(0)=1,f(0)=0 から
y=sin x の x=0における接線は
y= 1(x-0)+f(0)=x ≒ sin x (|x|<<1)
これが sin xの近似式になります。
xが小さいほど近似の精度がよくなりますね。

同様に
f(x)=tan x のとき
f'(x)=1/(cos x)^2,f'(0)=1,f(0)=0 から
y=tan x の x=0における接線は
y = 1(x-0)+f(0)=x ≒ tan x (|x|<<1)
sin xと同じ近似式になりますね。

同様に
f(x)=cos x のとき
f'(x)=-sin x,f'(0)=0,f(0)=1 から
y=cos x の x=0における接線は
y = 0(x-0)+f(0)=1 ≒ cos x (|x|<<1)

となり、これが cos xの近似式となりますね。

大学での数学でマクローリン展開を習えば、xが小さい時
sin x, tan x, cos x の無限級数展開が出来ますので直ぐ分かると思います。
高校レベルでは
|x|が十分小さいとき、それらの関数の近似式は
x=0における接線で近似できることを使えばいいですね。

例えば
f(x)=sin x のとき
f'(x)=cos x,f'(0)=1,f(0)=0 から
y=sin x の x=0における接線は
y= 1(x-0)+f(0)=x ≒ sin x (|x|<<1)
これが sin xの近似式になります。
xが小さいほど近似の精度がよくなりますね。

同様に
f(x)=tan x のとき
f...続きを読む

Q振り子の周期時間と長さの関係

1mの振り子の周期時間の1/2 はほとんど1秒です。1mの長さの定義と1秒という長さの定義からすると、振り子の長さの1mと周期1秒というのは偶然なのでしょうか?

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元々は
1mは地球の赤道全周長を4千万分の1にした長さ
1秒は1日の1/24の1/60の1/60

それがたまたま 1/2秒の周波数を持つ振り子の長さ に近かっただけです

1mが先にあって、
その定義案に
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