極座標の問題です。

Question

極座標表示でr方向の単位ベクトルをer,これと直交する単位ベクトルをeθとすると
　　　　　　er = i cosθ + j sinθ
　　　　　　eθ= -i sinθ + j cosθ 
であらわされる。
ここで一般ベクトルAは、極座標表示でr方向成分Ar、θ方向成分Aθを用いて、
　　　　　　A = Ar * er + Aθ * eθ
とあらわされる。θは時間変化する。
質量mの質点の運動方程式を極座標であらわせ。

速度ベクトル、加速度ベクトルは　dr/dt、d^2r/dt^2　で分かったんですが、問題の運動方程式が分かりません。どなたか教えてください。

ht1914 · Accepted Answer

＞速度ベクトル、加速度ベクトルは　dr/dt、d^2r/dt^2　で分かったんですが、問題の運動方程式が分かりません。どなたか教えてください。

極座標表示での速度ベクトル、加速度ベクトルの一般式はｄｒ／ｄｔ，ｄ＾２ｒ／ｄｔ＾２　ではありません。きちんと座標変換で出す練習をすることを勧めます。

位置ベクトルを（ｘ、ｙ）、速度べクトルを（Ｖｘ，Ｖｙ）、加速度ベクトルを（Ａｘ，Ａｙ）とします。この（ｘ、ｙ）を極座標で表します。ｘ＝ｒｃｏｓθ、ｙ＝ｒｓｉｎθ　です。

速度ベクトルは　
Ｖｘ＝ｄｘ／ｄｔ＝（ｄｒ／ｄｔ）ｃｏｓθ－（ｒｄθ／ｄｔ）ｓｉｎθ
Ｖｙ＝ｄｙ／ｄｔ＝（ｄｒ／ｄｔ）ｓｉｎθ＋（ｒｄθ／ｄｔ）ｃｏｓθ
です。
極座標で表した速度成分は（ｄｒ／ｄｔ，ｒｄθ／ｄｔ）です。

加速度ベクトルは
Ａｘ＝ｄ＾２ｘ／ｄｔ＾２＝ｄ（Ｖｘ）／ｄｔ
　　＝（ｄ＾２ｒ／ｄｔ＾２－ｒ（ｄθ／ｄｔ）＾２）ｃｏｓθ
　　　　－（２ｄｒ／ｄｔ・ｄθ／ｄｔ＋ｒｄ＾２θ／ｄｔ＾２）ｓｉｎθ
Ａｙ＝ｄ＾２ｙ／ｄｔ＾２＝ｄ（ｄＶｘ／ｄｔ）／ｄｔ
　　＝（ｄ＾２ｒ／ｄｔ＾２－ｒ（ｄθ／ｄｔ）＾２）ｓｉｎθ
　　　　＋（２ｄｒ／ｄｔ・ｄθ／ｄｔ＋ｒｄ＾２θ／ｄｔ＾２）ｃｏｓθ

極座標で表した加速度成分は
ｒ方向に　Ａｒ＝ｄ＾２ｒ／ｄｔ＾２－ｒ（ｄθ／ｄｔ）＾２
θ方向に　 Ａθ＝２ｄｒ／ｄｔ・ｄθ／ｄｔ＋ｒｄ＾２θ／ｄｔ＾２
です。

運動方程式は力をｒ方向にＦｒ、θ方向にＦθとすると
ｍＡｒ＝Ｆｒ、ｍＡθ＝Ｆθです。

もし万有引力のような中心力の場合であれば　Ｆθ＝０です。
その場合、Ａθ＝０ですから
２ｄｒ／ｄｔ・ｄθ／ｄｔ＋ｒｄ＾２θ／ｄｔ＾２＝０です。
ｒを掛けたもので考えると
ｄ／ｄｔ（ｒ＾２ｄθ／ｄｔ）＝０
ｒ＾２ｄθ／ｄｔ＝一定
です。これは面積速度一定というケプラーの法則になります。

ｒ＝一定の場合、ｄｒ／ｄｔ＝０、ｄ＾２ｒ／ｄｔ＾２＝０ですから
Ａｒ＝－ｒ（ｄθ／ｄｔ）＾２　です。これは向心力の表現です。

教科書に載っていると思います。座標変換と微分、自分で計算を繰り返して頭に入れて下さい。結果の式だけを覚えようとしても駄目だと思います。この結果だけを写してリポートにするというのも駄目です。

ksugahar · Answer

ラグランジアンを知るとすべては系統的になる。

KENZOU · Answer

質点の運動方程式は普通x-y座標系（単位ベクトルはi,j)で書かれますが、これを極座標系（単位ベクトルはer、eθ)で表せばどうなるかということですね。ということであれば参考URLの講義ノートのその６を参照されるとよいでしょう。

http://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~heki/lec_note.htm
その6（極座標、回転する座標系） 

（P.S)この講義ノートその１からその８までをを一通り勉強されれば相当力がつくと思います（←余計な老婆心。。。）

参考URL：http://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~heki/lec_note.htm

masuda_takao · Answer

問題になさっている状況がよく分からないのですが、運動方程式の成分
表示を極座標で行えということなら、加速度ベクトルを極座標で表現すれ
ば良いのではないでしょうか？
　上記の i と j が各々直交座標の x 方向、y 方向の単位ベクトルだとする
と、e_r、e_θ の時間微分や、動径 r 、偏角θの時間微分を考えることに
より、上記は実行可能です。
　では、計算を頑張って下さい。

mazimekko3 · Answer

運動方程式はF=maですが
aを代入するだけです

極座標の問題です。

＞速度ベクトル、加速度ベクトルは dr/dt、d^2r/dt^2 で分かったんですが、問題の運動方程式が分かりません。

ラグランジアンを知るとすべては系統的になる。

質点の運動方程式は普通x-y座標系（単位ベクトルはi,j)で書かれますが、これを極座標系（単位ベクトルはer、eθ)で表せばどうなるかということですね。

問題になさっている状況がよく分からないのですが、運動方程式の成分

運動方程式はF=maですが

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