積分：解答可能か否か

自力では解けない問題があったので、解けるかどうかだけ判断をお願いします。答えそのものではなく、この問題が解ける部類に入るのかどうかだけ判定していただきたいです。
∫√(1+{cos(t/2)}^2)dt
事情がいえないわけではないのですが、なるべく控えさせていただきます。よろしくお願いいたします。

No.5 回答者： info22 回答日時： 2007/12/14 09:16

#3です。

#1さん。失礼しました。A#3でご指摘のとおり
{cos(t/2)}^2の
二乗を見落としていました。
二乗があると楕円積分を使わないと積分できませんので
初等関数の範囲では積分は出来ませんね。

A#3の結論を訂正させていただきます。

∫√(1+{cos(t/2)}^2)dtの積分は初等関数の範囲では積分できません。
従って#A3は破棄して下さい。

失礼しました。ごめんなさいね。

No.4 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/12/14 03:11

　＃１です。

　∫√(1+{cos(t/2)}^2)dt
＝∫√(2-{sin(t/2)}^2)dt
＝√2 ∫√[ 1-(1/√2)^2・{sin(t/2)}^2 ]dt
＝2√2 ∫√[ 1-(1/√2)^2・{sin(t')}^2 ]dt'
＝2√2 E(t/2,1/√2)　　←第2種楕円積分

　ただし、E(φ,k)＝[0→φ]∫ √{ 1-k^2(sinθ)^2 }dθ


　＃３さんは「^2」を忘れてしまったのかな？

この回答へのお礼

おはようございます。なにやら意見が分かれているようですが、ありがたく＃３さんのおっしゃったサイトを使って、答えを出してみたところ、＃１さんの言うとおりに楕円積分になりました。お二人ともありがとうございます。＃２さんも詳細に説明をしていただき、ありがとうございました。しかし、おっかし～な。これとある提出する問題なんですけどね？ちょっと抗議しておきます。とにかくありがとうございました。

お礼日時：2007/12/14 08:21

No.3 回答者： info22 回答日時： 2007/12/14 02:46

この問題は初等関数の範囲で解けます。

＃１さんが言われる楕円積分にはなりません。
√内の定数項とcosの係数が同じ時には楕円積分にはならないですね。
定数項よ係数が異なる時は楕円積分になります。
この場合は楕円積分には当たりませんよ。

下記の積分サイトやMaple,Mathmatica,Maximaやその他の数式処理ソフトでも確認できますね。

参考URL：http://integrals.wolfram.com/index.jsp

No.2 回答者： masa2211 回答日時： 2007/12/14 02:06

解けるかどうかだけの判断なら簡単です。

元の微分式（この場合、√(1+{cos(t/2)}^2)）がグラフに書けるかどうかで判断可能。
この場合不定積分だから、ｔの範囲が±無限大となりますが、
ｔの範囲内で√(1+{cos(t/2)}^2)が解を持つか。（±無限大となるか否か。）
この場合、ｔの値にかかわらず、0≦√(1+{cos(t/2)}^2)≦√2
となり無限大という事態は生じないので必ず積分解はあります。
解が無い（±無限大となる）場合、積分解は場合により発散したり発散せず積分解があったりします。

ただし、「解ける」というのを、数値解析で解けるという意味にとっており、
解析的に解けるという意味にはとっていません。

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/12/14 01:55

　楕円積分に帰着し、解析的には解く事ができませんよ。