周波数を求める問題について

ご質問させていただきます。

電気の問題で、下記のような問いがありました。

交流が電源の、コンデンサ0.2μFと、抵抗2.5kΩの直列回路にて、

出力電圧e（抵抗の両端）の位相が、入力電圧eより60°進む入力正弦周波数はいくらか？

という問題で、詰まっております。

どなたか、ご教授願いたいです。

No.5 回答者： ruto 回答日時： 2008/12/02 14:22

>tan θが√3というのは、

回路のインピーダンスZは
Z＝R＋ｊX
電流Iは
I＝E・｛R／（R^2+X^2)^0.5＋ｊX／（R^2+X^2)^0.5｝
進み６０°なので
tanθ＝X／R＝√3　∴X＝R・√3
　特に直角三角形で６０°３０°の辺の比は1:√3：2でよく使うので
覚えておいた方が良いと思います。

No.4 回答者： inara1 回答日時： 2008/12/01 22:25

回答No.2です。

＞tan θが√3というのはどこから、分かるのでしょうか？
tan（60度）がなぜ√3になるかというご質問ですか？

以下の正三角形ABCで、頂点Cから辺ABに降ろした垂線の足をDとすれば、三角形ADCは直角三角形で、頂角∠CAD は60度で、AC = 2、AD = 1 になります。
　　　　　　　C
　　　　　　・│ ・
　　　２ ・ 　│　　・ ２
　　　 ・　　 │　　　・
　　 ・　　　 │　　　　 ・
　A ─── D ─── B
　　　　1　　　　　　1
ピタゴラスの定理から、AD^2 + DC^2 = AC^2 なので、AC = 2 で AD = 1 なら、DC = √3 になります。
したがって tan（∠CAD） = tan(60度） = DC/AD = √3/1 = √3 になります。

No.3 回答者： ruto 回答日時： 2008/12/01 09:30

回答No1ですが間違ってましたので訂正します。

位相が６０°(1，2，√3）なので容量性リアクタンスXcは
Xc＝２５００×√３＝４３３０Ω
∴ｆ＝１０^6／（２・π・C）≒１８４hz　になります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

恥を覚悟でお聞きしたいのですが、tan θが√3というのは、

どこから、分かるのでしょうか？

確かに、tan 60°＝1.7320・・・・、√3　＝　1.7320・・・・と同じですが・・・。

よろしければ回答いただきたいです。

お礼日時：2008/12/01 21:32

No.2 回答者： inara1 回答日時： 2008/11/30 21:03

　┌─┐

　│　 C
　V　　├─
　│　 R　 ↑e
　└─┴─
上の回路で、入力電圧を V [V]、出力電圧を e [V]、コンデンサの静電容量を C [F]、抵抗値を R [Ω] とします。ω を角周波数 [rad/s] = 2*π*f　（ f は周波数 [Hz] ）としたとき
　　　e/V = R/{ R + 1/( j*ω*C ) }
　　　　　 = j*ω*C*R/( 1 + j*ω*C*R )
　　　　　 = j*ω*C*R*( 1 - j*ω*C*R )/{ 1 + ( ω*C*R )^2 }
　　　　　 = ω*C*R*( ω*C*R + j )/{ 1 + ( ω*C*R )^2 }
なので、入力電圧 V 対する出力電圧 e の位相を θ とすれば
　　　tan(θ） = 虚数成分/実数成分 = 1/( ω*C*R ) = 1/( 2*π*f*C*R )
となります。

θ = +60度（位相が60度進む）なら tan(θ） = √3 なので
　　　√3 = 1/( 2*π*f*C*R )
　　　→ f = 1/( 2*π*√3*C*R )
C = 0.2E-6 [F] 、R = 2.5E3 [Ω] だから、f = 183.7763 [Hz]

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

恥を覚悟でお聞きしたいのですが、tan θが√3というのは、

どこから、分かるのでしょうか？

確かに、tan 60°＝1.7320・・・・、√3　＝　1.7320・・・・と同じですが・・・。

よろしければ回答いただきたいです。

お礼日時：2008/12/01 21:42

No.1 回答者： ruto 回答日時： 2008/11/30 19:29

位相が６０°(1，2，√3）なので容量性リアクタンスXcは

Xc＝２５００／√３＝１４４３．３Ω
∴ｆ＝１０^6／（２・π・C）＝５５１hz　になります。