この問題がわからないのでどなたか教えてください。

平面上に,1辺の長さがaの正三角形ABCと点Pがある。点A,B,C,Pの位置ベクトルをそれぞれa→,b→,c→,p→とし,点Pは
3p→=(1+t)a→+(1+2t)b→+(1-3t)c→(tは実数)という関係を保って動く。

(1)動点Pの軌跡はベクトル(ア)に平行な直線である。

(2)AP→をAB→,AC→を使って表すと
   AP→=(イ)AB→+(ウ)AC→
   となる。AP//BCとなるのは,t=(エ)のときで,このとき,4点A,
   B,C,Pが作る台形の面積は(オ)である。

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A 回答 (3件)

問題では正三角形の1辺の長さはaとなっていますが点Aの位置ベクトルa→と


紛らわしいので回答ではrと書きます。

(1)Pの従う式を変形すると
p→ =t(a→+2b→-3c→)/ 3 + (a→+b→+c→)/ 3 ……(*)
となります。
すなわちp→はベクトル (a→+2b→-3c→)/ 3 に平行で
点 (a→+b→+c→)/ 3 を通る直線です。

(2)AP→ = p→ - a→ 、AB→ = b→ - a→ 、AC→ = c→ - a→
ですから上の式(*)の両辺から a→ を引いて 式を変形すると
AP→ = p→ - a→
={(1+2t)/3}(b→ - a→) + {(1 - 3t)}/3(c→ - a→) …… (**)
= {(1+2t)/3} AB→ + {(1 - 3t)}/3 AC→
となります。

AP//BCとなるのは,ある実数kに対して
AP = k BC = k(b→ - c→ ) となる場合です。そこで(**)の式で
a→が0になるようにtを決めてやるとt=2 のときうまくこの形になって
k= 5/3となります。

つまり線分APの長さは線分BCの長さの 5/3倍ですから (5r)/3 です
今線分APと線分BCは平行ですからあとは APとBCの距離、すなわち
下底BC上底APとする台形の高さ がわかればよいですね。
これは正三角形の頂点Aから底辺BCに引いた垂線の長さですから
(r√3)/2 です。
よって台形BCPAの面積は (2r^2 √3)/3 となります。
(r^2 はrの2乗のことです)
細部の計算は御自分でチェックして下さい。
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この回答へのお礼

詳しい解説をどうもありがとうございました☆

お礼日時:2001/03/07 02:41

再びalien55です。

うーーーーーん。一番乗りを目指したがちょっと遅すぎたか・・・・・!!
oodaikoさん(専門家)のと本質的に変わらなっかので、安心しました。
私のはm,nをおきましたが、oodaikoさんは、AP=の式をそのまま変形しています((**)のところ)。もちろんこの方が
エレガントだと思いますよ。APをABとACの一次結合で表せって言ってんだから、そのように変形していくのが一番賢い
ですよね。私の方はベクトルを学んでまもない頃の「高校生向き」かな?
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以下でa,b,c,p,AB,AC,AP,BC等はベクトルです。

上に→を付けてね。また正三角形の一辺の長さはここでは大文字のAとしました。
(ア)は色々な答えが可能です。
[解答]
(1)与えられた式3p=(1+t)a+(1+2t)b+(1-3t)cを変形して、
      p=1/3(a+b+c)+1/3(a+2b-3c)t
これは、動点Pが三角形ABCの重心を通り、ベクトル1/3(a+2b-3c)に平行な直線上を動くことを示す。
(2)AP=mAB+nAC・・・・(*)とする。すなわち、
     p-a=m(b-a)+n(c-a) ⇔ p=(1-m-n)a+mb+nc
⇔1/3(1+t)a+1/3(1+2t)b+1/3(1-3t)c=(1-m-n)a+mb+nc
これより、係数比較して、
      1+t=3-3m-3n・・・・(1), 1+2t=3m・・・・(2), 1-3t=3n・・・・(3)
 (2)、(3)より、
        m=(1+2t)/3, n=(1-3t)/3 (→それぞれイ、ウの答え)
 また、このm,nは(1)を満たす。
  次に、AP//BCとなるのは、適当な実数kを用いて、AP=kBC すなわち、
    AP=k(AC-AB)=-kAB+kAC
となるときだが、これと(*)より、このときm=-k, n=kすなわち、
     (1+2t)/3=-k, (1-3t)/3=k
である。この2式からkを消去して、
       1+2t+1-3t=0 ⇔ t=2 (エの答)
 このとき、3p=3a+5b-5c ⇔ p-a=5/3(b-c) ⇔ AP=5/3CBだから、
 点Aを通り辺CBに平行な直線を引いたとき、その直線上のAP=5/3CBとなる点(ただし辺ABに対し点Cとは反対側)
 が点Pの位置である(実際に書いてみてください)。
 台形ACBPの面積は線分AP、線分ACを隣り合う二辺とする平行四辺形の面積の4/3倍で、正三角形ABCの面積は
 √3/4・A^(2)なので、求める面積はこれの8/3倍。すなわち、
 2√3/3A^(2) (←オの答え)■

以上ですが、ちょっと酔っ払いながら書いたのでどこかミスがあったら御報告下さい。
イとウは、このような穴埋め形式では表面的には問題にならないのですが、(2)と(3)から出てきたm,nが(1)をも満たす
ことが言えて、初めて答えになります。
あっそうそう、√3は「ルート3」のつもりです。
 
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この回答へのお礼

詳しい解説をどうもありがとうございました☆

お礼日時:2001/03/07 02:39

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(4)(a→-3b→+p→)・(a→ー3b→+p→)=4
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誰か教えてくださいお願いします。

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補足
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b-(d*(a+b)^2)/bc=y と置いて単純化しています。

計算ミス等ありましたらご指摘下さい。

Aベストアンサー

老婆心ながらシミュレーションなら、近似値ということでこういう方法で簡単に計算できますよ^w^
まぁ、方程式が超幾何方程式なので解は結局電卓をたたくしかないので近似値というとこに気を使う必要はないでしょう。


元の式が

s = y-a*t
s = b*exp(-ct)

という連立方程式にyを代入したうえでの解になることは述べました。ここで少し変数をいじって

s1(t) = y-a*t
s2(t) = b*exp(-ct)

と置きます。

s1(t)-s2(t)

を縦軸に、横軸をtとして絵画します。そのときt軸と曲線が交わるところが解です。
当たり前っちゃその通りですがw

グラフを書かないシミュレーション的な方法としては、t=n×Tという書き方に変えて、nがステップ、Tがステップ幅とみて
(s1(n×T)-s2(n×T))×(s1((n-1)×T)-s2((n-1)×T))<0
となるnを探し出すという手法でそのnをtに戻して導くという方法がシンプルでいいでしょう。

Q数直線上の2点A(a),B(b)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点P。

数直線上の2点A(a),B(b)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点P。ただし、m>0,n>0とする。
点Pの座標はna+mb/m+n

a<0,b<0やa<0,b>0の場合も成り立つんですか??またそう言える理由を論理的にできるだけ分かり易く教えて下さい

Aベストアンサー

a<bのときは、aにABの距離のm/(m+n)倍を足せばよく、a>bの時はaからABの距離のm/(m+n)倍を引けばよいことになります。
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Qa^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

こんにちは。

[問]
a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ。
[解]
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a+b=6log[b]a=6/log[a]b
なので
(log[a]b)^2=1/4
log[a]b=±1/2
a^(±1/2)=b
からどうしてもa,bが定まりませんどうすれば定まりますでしょうか?

Aベストアンサー

>a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
   a+b=24log[a]b をみると、a も b も正の数ですから、左辺は
正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね?そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

納得できたでしょうか。説明が足りなくてすみませんでした。

Q(a+b−1)(a+b+1)の計算方法は、 a×a+b×b−1a+b+1a+b+(−1)1 =a^2

(a+b−1)(a+b+1)の計算方法は、

a×a+b×b−1a+b+1a+b+(−1)1
=a^2+b^2−1

であっていますでしょうか?

Aベストアンサー

順番通りに機械的に計算するのがコツです。

左の a と 右の a, -b, +1 をかける。
左の b と 右の a, -b, +1 をかける。
左の -1 と 右の a, -b, +1 をかける。

これを 「a・aがあって、b・bがあって...」と考えながらやると、抜けが出てしまいます。

あとは、既に出ていますが X=a+b とすると、よく知られた公式だけで解くことができて簡単になります。


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