ホロノーム、非ホロノーム拘束系とは何ですか？

ランダウリフシッツの力学の本でホロノーム、非ホロノーム拘束系というものが出てくるのですが、
これはどうものなのでしょうか？

ネットなどで検索してみると、前者は永遠に同じ軌道を回る運動で、後者は時間とともに軌道が変化する運動、
つまり前者は平衡的なもので後者は非平衡的なもののように思えるのですが、
厳密にはどういうものなのでしょうか？


http://hooktail.maxwell.jp/kagi/ba8dd0cb9ac95fef …

上記のページによればy=x^2のように表すことが出来ないものが非ホロノーム拘束系というそうなのですが、
こういった式で表されない運動とは具体的にどういうものを指しているのでしょうか？
そしてこの分類法はどういうときに重要になってくるのでしょうか？

よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： DR_WHO 回答日時： 2009/06/01 00:32

こんばんは。

ネットなどで検索されているならば、ある程度のことは分かっているものとして回答しておきます。

「ホロノミック(Holonomic)」とは、純粋な「拘束条」件を持つ系に適応されます。具体的には、力学方程式としては、「座標（位置、角度）」、座標の「時間微分」としての「速度」、更に「速度」の「時間微分」としての「加速度」に依存することは分かると思います。もう少し具体的にしてしまえば、「ある一定の初期条件を与えた系」において、「ある物体の運動が一定の条件で成立する」ような場合を指します。つまり、慣性運動系によって成立するわけです。

それに対して、「非ホロノミック(Non-holonomic)」とは、座標の時間微分としての「速度」が、なんらかの原因で変化する（1階の拘束条件を満たさない）。更に、速度の時間微分としての「加速度」が、なんらかの原因で変化する（2階の拘束条件を満たさない）場合に適応される系です。

言い換えれば、初期条件として与えた「速度」が可積分ではない、つまり「初期速度」と「時間」から「位置」を推定できない事を、1階の「非ホロノミック」と定義します。更に「初期加速度」と「時間」から、「速度」が推定できない場合・・・更に、「速度」と「時間」から「座標」が推定できない事を、2階の「非ホロノミック」と定義されるのです。

「平衡運動」といより、純粋な「慣性運動系」において、可積分の成り立つ系を「ホロノミック」と呼ぶ訳です。もう少し、付け加えておくと、「ホロノミック系」にあっては、初期条件さえ与えてしまえば、後の運動を定義できるような系を指します。例えば、「質点」にまで還元された、「太陽中心座標系」における「地球」の「公転運動」が挙げられます。

ところが、「非ホロノミック系」では、例えば「目的」や「目標」などによって、「速度」を変化させたり、「加速度」を変化させるなどによって、運動を変化させるような場合に生じる系なのです。

他の例で挙げておけば、「静止摩擦力」と「動摩擦力」の境界条件のように、「加速度」が変化する系もありますし、「動摩擦力」でも2体の相互変化によって、「加速度」が変化する系も存在します。このような場合、「境界条件」を「拘束条件」として付け加えて、可積分できる系であれば、1階の「非ホロノミック」として、ある一定時間後の「座標」の推測が可能になります。

多分、彼の書いた論文全体をお読みになっていないと思いますが、参考URLに挙げられた論文の場合、「円運動」する系を参考に挙げたのだと思います。

「ホロノミック系」の場合には、「ラグランジュの未定義変数法」によって、簡単に処理できることを示したかったのでしょう。

「非ホロノミック系」の場合には、「エントロピー増大則（熱エネルギーの第２法則）」、「対称性の破れ」などによって生じる、各条件によって解くべき形が変ってきます。

「分類法」としては、純粋に・・・「可積分できるのか？出来ないのか？」というそれだけの条件です。つまり、将来の位置（または速度）を推定できる場合には、「ホロノミック」となりますし、推定できない場合には「非ホロノミック」となるわけです。

一番簡単な、参考例を参考URLに掲げます。非ホロノミック（目標や目的によって機械制御を柔軟にする）による、自由制御工学。

参考URL：http://www.iis.u-tokyo.ac.jp/~suzukitk/research- …

この回答へのお礼

詳細な回答ありがとうございます。

一応確認しておきたいのですが、
慣性系はホロノミックということですが、
例えば、空気抵抗を無視した放物線運動は初期条件が決まれば、その位置や速度は一意的に決まりますが、
慣性系ではないので、非ホロノミックである、ということで良いでしょうか？

お礼日時：2009/06/01 23:30