因数分解(高校・応用問題)

この因数分解の問題が解ける方いますか?
高校の問題集の中の問題です。

(1)ｘ二乗＋６ｙ＋３ｘｙ－４

(2)ｘ二乗＋２ｘｙ＋９ｚ二乗－６ｘｚ－６ｙｚ

見にくい文章でしたらすみません。

No.1 回答者： tksmsysh 回答日時： 2009/07/04 23:53

(1)

x^2+6y+3xy-4
=(x^2-4)+(6y+3xy)
=(x+2)(x-2)+3y(x+2)
=(x+2)(x+3y-2)

(2)
x^2+2xy+9z^2-6xz-6yz
=(x^2-6xz+9z^2)+2xy-6yz
=(x-3z)^2+2y(x-3z)
=(x-3z)(x+2y-3z)

No.2 回答者： nekochari 回答日時： 2009/07/05 01:34

これは答を暗記しても意味がありませんから、「解き方」を説明します。

因数分解の基本的方法というのが幾つかありますが、この２つの問題のように、文字が複数種類ある時には、各文字の最大次数が最も少ないものでまず整理してみる、という原則があります。
　上のように言葉で説明してもちょっと分かりにくいので、（１）でまず説明しましょう。
（１）x^2 + 6y + 3xy -4
　各項に含まれる文字の次数を見ていきます。
　x^2： これは x の次数が２です。
　6y：　これは、yの次数が１です。
　3xy： こういう項は、各文字ごとに次数を見ます。x の次数が１、yの字数も１です。
　-4： 文字は有りません。
　ということで、x の次数の最大は２、yの次数の最大は１です。
　次数が少ない方の文字で整理するのが原則ですから、y で整理することになります。y の最大次数が１ですから、要するに、yを含む項と、yを含まない項に分けるということになります。

　与式 = (6y + 3xy) + (x^2 - 4)
　これは、y を含む項を先に持ってきて、含まない項をあとに持ってきました。y を含む項は当然yでくくれます。ここではさらに3でもくくれます。　6y + 3xy = 3y(2 + x)
　また、y を含まない項の方は公式を使って、
　　　x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) となります。
　よって、与式 = 3y(2 + x) + (x + 2)(x - 2)
　さて、ここまでで原則の適用は終りで、そうすると普通なら、共通因子が括り出せます。ここでは、2 + x = x + 2 ですから、(x + 2)が共通因子として存在していますので、これでくくります。
　与式 = (x + 2)(3y + (x - 2))
　余分な括弧は取り外して、見やすく整理します。
　与式 = (x + 2)(x + 3y -2)
となります。

　各文字の最大次数が最も小さい文字で整理する、という意味が分かりましたでしょうか。
　では、同じ方法で（２）を解いてみましょう。
（２）x^2 + 2xy + 9z^2 - 6xz - 6yz
　これは文字が、x、y、zの３種類あります。最大次数は、xが２、yが１、zが２ですから、次数が最小のyで整理します。
　与式 = (2xy - 6yz) + (x^2 + 9z^2 - 6xz)
　yを含む項どうし、y を含まない項どうしで因数分解します。
　与式 = 2y(x - 3z) + (x - 3z)^2
　これでめでたく共通因子(x -3z)が出ましたので、これを括り出します。
　与式 = (x - 3z){2y + (x - 3z)}
　見やすく整理します。
　与式 = (x - 3z)(x + 2y - 3z)

　ここでは、説明のためちょっとくどいような変形になりましたが、実際に回答するときには、ある程度頭の中で、見通しを立てながら整理して書きます。
（１）x^2 + 6y + 3xy -4
= (6y + 3xy) + (x^2 - 4)
= 3y(x + 2) + (x + 2)(x - 2)
= (x + 2)(x + 3y -2)

（２）x^2 + 2xy + 9z^2 - 6xz - 6yz
= (2xy - 6yz) + (x^2 - 6xz + 9z^2)
= 2y(x - 3z) + (x - 3z)^2
= (x - 3z)(x + 2y - 3z)