ベクトル

Question

独学なので、出来ればやさしめにお願いします。

△ABCの辺BC、CA、AB上にそれぞれ点D、E、Fがあり、△ABCと△DEFの重心が一致するとき　、BD：DC＝CE：EA＝AF：FBを証明するんですけど、
重心の一致ならわかるんですが、BD：DC＝CE：EA＝AF：FB　を証明するとなると、どうしていいかわかりません。

解説には、Aに関するベクトルで考えると書いてあるんですが、さっぱりです。
お忙しい中申し訳ないですが、解説お願いいたします。

htms42 · Accepted Answer

Ａに関するベクトルで考えると書いてあります。
位置Ｂ、位置ＣはベクトルＡＢ，ＡＣというベクトルで表されます。（矢印は省いています。）
これはすぐにわかると思います。
ほかの点はどう表すのかです。
Ｂ、Ｃ以外の点を表すベクトル、それらの点を結ぶベクトルをすべて共通の２つのベクトルで表す（この場合はＡＢ，ＡＣ）というのがポイントです。
△ＡＢＣの重心の位置を中線の交点から求めるというのもこの方法でやります。
ＡＧ＝(2/3)(1/2)(ＡＢ＋ＡＣ)　　　（１）
がでてきます。
（この出し方は省略します。「交点」という条件をベクトルでどのように表すかがわかりにくいかも知れません。(1/2)(ＡＢ＋ＡＣ)はＡからＢＣの中点Ｎに引いた中線を表すベクトルＡＮです。）

△ＤＥＦの重心Ｇ’に上の結果を流用します。
ＦＧ’＝(2/3)(1/2)(ＦＤ＋ＦＥ)　　　
ＡＧ’＝ＡＦ＋ＦＧ’　　　　　　（２）
ここでＦ，Ｄ，Ｅの位置を決めます。
ＡＦ＝ｘＡＢ
ＢＤ＝ｙＢＣ
ＣＥ＝ｚＣＡ
この関係を（２）に入れて出てくるベクトルをすべてＡＢ，ＡＣで表します。
この結果は（１）に一致するはずです。
係数が等しいということから　ｘ＝ｙ＝ｚ　がでてきます。
これで証明ができました。

やってみてください。

ma-cyan369 · Answer

△ＡＢＣの重心を→ｇとおくと、→ｇ＝(→ａ＋→ｂ＋→ｃ)／３。

ここで、ＢＤ：ＤＣ＝ＣＥ：ＥＡ＝ＡＦ：ＦＢ＝ｔ：１－ｔとおいて、
△ＤＥＦの重心→ｇ'を求めて、→ｇと一致すれば、
ＢＤ：ＤＣ＝ＣＥ：ＥＡ＝ＡＦ：ＦＢ＝ｔ：１－ｔが成り立つので、証明が出来ると思います。

4028 · Answer

解説通りにやるなら
例えば
ＡＢは→ｂ　(矢印はべクトル)
ＡＣは→ｃ
など自分の好きなように
ベクトルを考えて解けばいい

alice_44 · Answer

「A に関するベクトルで考える」
というのは、たぶん…

点 A 上に原点を置いて
各点の位置ベクトルに名前を付け、
問題文中に書かれた諸条件を
ベクトルの関係式に翻訳して考える

…と言いたいんだと思います。
やってみてください。

ベクトル

Ａに関するベクトルで考えると書いてあります。

△ＡＢＣの重心を→ｇとおくと、→ｇ＝(→ａ＋→ｂ＋→ｃ)／３。

解説通りにやるなら

「A に関するベクトルで考える」

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