外見と質量が同じアルミニウム球と銅球をモーメントで見分ける方法

外見と質量が同じアルミニウム球と銅球をモーメントで見分ける方法

外見が同じ等大等質量のアルミニウム球と中空の銅球がある。
これを見分ける場合この2つを斜面で転がして見分けるそうなのですが、どういうことですか？
慣性モーメントが違うそうなのですが・・・。

（位置エネルギー）＝（並進の運動エネルギー）
（位置エネルギー）＝（並進の運動エネルギー）＋（回転の運動エネルギー）
という式がヒント（答え？）らしいのですが分かりません。

具体的に質量をm、速度をv、高さh、重力加速度gなどを使って説明をお願いします。

よろしくお願いします。

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/07/23 13:02

#2です。

少し主題から外れてしまうのですが。＾＾；

「摩擦力」についてですが、どちらの球も同じ質量なので、
・摩擦力自体はどちらの球でも同じ（摩擦力＝摩擦係数×垂直抗力）であって、
・それによるエネルギーロス（摩擦力による仕事＝摩擦力×斜面上の距離）も等しい。

ということではないでしょうか？

No.4 回答者： Saturn5 回答日時： 2010/07/23 12:43

htms24さん、こんにちは。

基本に忠実であり、なおかつレベルが高い内容でいつも勉強させて
頂いています。

さて、この問題ですが、摩擦によってエネルギーが失われていない
のは理解できますが、球体を回転させているのは摩擦力しかない
ので、速度を変えている要因は摩擦力だと思いました。
もし、摩擦係数が０の斜面で実験をすると球体は転がらずに
同じ速度で落ちるはずです。摩擦係数が違うだけで結果が異なる
のは摩擦力が影響しているのではないでしょうか？
運動エネルギーを並進エネルギーと回転エネルギーに振り分ける
作業を摩擦力がしていると考えられるのではないでしょうか。

実は回転モーメントによるエネルギーは化学分野でも重要です。
２００４年の東京大学の化学ですが、
(1)ＣＨ３－ＣＨ２－ＣＨ２－ＣＨ２－ＯＨ　１－ブタノール
(2)ＣＨ３－ＣＨ（ＣＨ３）－ＣＨ２－ＯＨ　２－メチル－１－プロパノール
を沸点によって区別する問題でした。
(1)の方が分子が長く、回転モーメントが大きいので、その分にエネルギー
を取られて、並進エネルギーは少なくなるので沸点が高くなります。

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2010/07/23 11:09

前の質問に回答を書いたｈｔｍｓ４２です。

慣性モーメントという言葉はハードルになると思いますから質量と大きさ、形が同じで質量の分布が異なる場合で考えることにします。
質量が無視できる丈夫な中空の球（半径ｒ）があるとします。長さ２ｒの軽くて丈夫な棒が内部にセットされているとします。
この棒に質量ｍの物体を２つ取り付けます。
Ａ：棒の両端（球の中心からの距離ｒの位置）に２つの物体を取り付ける
Ｂ：球の中心からの距離がｒ／２の位置、中心の反対側に２つの物体を取り付ける

（１）中心の位置を変えずにＡ，Ｂを一定の速さで回転させます。
　　　１回転に要する時間をどちらもｔとします。（これは角速度が同じということです。）
Ａの物体の速さは２πｒ／ｔ、Ｂの物体の速さはπｒ／ｔです。
Ａの全運動エネルギーはＫａ＝２×(1/2)ｍ(2πｒ／ｔ)^2
Ｂの全運動エネルギーはＫｂ＝２×(1/2)ｍ(πｒ／ｔ)^2＝Ｋａ／４

（上の表現を角速度　ω＝２π／ｔを用いて書き直してみます。
　　Ｋａ＝(1/2)(２ｍｒ^2)ω^2
　　Ｋｂ＝(1/2)(ｍｒ^2／２)ω^2

　　ここに出てきた２ｍｒ^2、ｍｒ^2／２が慣性モーメントと呼ばれている量です。
　　慣性モーメントには質量の分布が反映します。）

（２）水平な床の上を一定の速さで転がしたとします。
　　　１回転に要する時間をｔとします。
　　　床との間には摩擦があって滑らないとします。・・・これがポイントです！
球が１回転すると球の中心（重心）は2πｒ横に移動しています。
重心の移動速度は2πｒ／ｔです。
運動エネルギーはどのような表現になっているでしょうか。
重心は水平に運動していますが物体はややこしい運動をしています。
Ａの場合で考えます。
２つの物体の速度をｖ１、ｖ２とします。
Ｅａ＝(1/2)ｍｖ１^2＋(1/2)ｍｖ２^2
ｖ１、ｖ２はややこしい表現になりますが、・・・。
重心の運動と重心に対する運動に分けてみると簡単な表現になることが分かります。
重心の速さ　Ｖｘ＝(ｍｖ１ｘ＋ｍｖ２ｘ)/(ｍ＋ｍ)＝(ｖ１ｘ＋ｖ２ｘ)/２
　　　　　　Ｖｙ＝(ｖ１ｙ＋ｖ２ｙ)/２＝０
重心に対する速度　ｕ１ｘ＝ｖ１ｘ－Ｖｘ，ｕ２ｘ＝ｖ２ｘ－Ｖｘ
　　　　　　　　　ｕ１ｙ＝ｖ１ｙ－Ｖｙ、ｕ２ｙ＝ｖ２ｙ－Ｖｙ
　　　　　　　　　
これを入れて計算します。

Ｅａ＝(1/2)(２ｍ)Ｖ^2＋(1/2)ｍｕ１^2＋(1/2)ｍｕ２^2
　　＝Ｋｇ＋Ｋａ
Ｋｇは重心の運動エネルギーです。
Ｋａは重心の周りの運動で考えた運動エネルギーです。
１回転に要する時間をｔとしました。
ｕ１＝ｕ２＝２πｒ／ｔです。
（これが成り立ったのは滑らずに転がるという条件があったからです。）

Ｂについても同じように考えると
Ｅｂ＝Ｋｇ＋Ｋｂ

Ｋａ，Ｋｂは（１）で考えたものと同じ内容です。

Ｖ＝２πｒ／ｔを入れて計算すると
Ｋａ＝Ｋｇ，Ｋｂ＝Ｋｇ／４
Ｅａ＝２Ｋｇ，Ｅｂ＝(5/4)Ｋｇ

回転速度が等しい場合でも運動エネルギーはＡとＢでこれだけ違いが出ます。
Ａの方が大きなエネルギーを持っています。

（３）斜面を転がす場合、
　　　転がり落ちた高さの差がｈだとします。

位置エネルギーの減少分が運動エネルギーの増加になります。　
Ｅａ＝Ｅｂ＝２ｍｇｈ

この場合、転がる速さはＡとＢで同じではなくなります。
Ｋｇａ＝ｍｇｈ／２
Ｋｇｂ＝４ｍｇｈ／５
Ａの回転速度の方がかなり小さいことが分かります。


この問題では摩擦によるエネルギーロス（＝熱発生）はないものとしています。
でも摩擦が存在していることが重要な前提になっています。
滑らずに転がるという条件が成り立つために必要なのです。

静止摩擦ではエネルギーのロスは生じません。
接触面で滑るということがあればエネルギーのロスが生じます。これは運動摩擦によるものです。

＃１でＡの方が遅くなる理由を摩擦だとしているのは誤りです。
熱の発生は一切起こっていません。
力学的エネルギーは保存するとして計算した結果です。

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/07/23 02:07

こんばんわ。

先に解答させてもらった次の 2つの内容からですね。

物理教師から出題された問題なのですが、～
http://okwave.jp/qa/q6034120.html

外見と質量が同じアルミニウム球と銅球を見分ける方法
http://okwave.jp/qa/q6043518.html

＞（位置エネルギー）＝（並進の運動エネルギー）
＞（位置エネルギー）＝（並進の運動エネルギー）＋（回転の運動エネルギー）
＞という式がヒント（答え？）らしいのですが分かりません。
まず、いま考えている金属球の問題では、2つ目の式だけを考えることになります。
（この回答は中身が水と氷のときの問題であったので、水のときは 1つ目、氷のときは 2つ目に対応するという内容でした。）


慣性モーメントが異なることから、（回転の運動エネルギー）が異なってきます。
この（回転の運動エネルギー）が大きい方が（並進の運動エネルギー）は小さいということになります。

（回転の運動エネルギー）は、
1/2* Ｉ* ω^2　（Ｉ：慣性モーメント、ω：角速度）

と表されます。

Ｉの具体的な式については、「球殻の慣性モーメント」といったキーワードで検索すればでてきます。
結果、Ｉが大きい方が（回転の運動エネルギー）が大きい方ということになります。


計算でも銅球の方が Ｉが大きいことはわかります。
物理的な考察をしてみると、銅球とアルミニウム球の断面図は添付の図のようになります。
銅球の方が密度が高いので、球のより外側に質量が集中することになります。

図の下には、イメージとして両端に同じ重さの重りをつけたものを描いています。
同じ重さでも、先の方に集中させるのと、根元に近いところまで分散させているものとでは、どちらの方が「回しやすい」ですか？
この「回しやすさ」を量的に表したものが、慣性モーメントになります。
ですので、ある程度このような物理的な感覚からも結論は導き出せます。


文章が長くなってしまって、すみません。
また、わかりにくいところがあれば、補足してください。

No.1 回答者： Saturn5 回答日時： 2010/07/22 22:25

問題文に何の数値も無いので、具体的に質量をm、速度をv、高さh、

重力加速度gなどを使って説明することは難しいです。
銅とアルミニウムの密度もないですので、どれくらいの中空かもわかりません。

基本的に質量が同じｍ〔ｋｇ〕ならば重量はｍｇ〔Ｎ〕になります。
斜面の角度をθとすつと、斜面を落ちる力はｍｇ・ｓｉｎθです。
これにｍとかｇを使う意味はなく、同じであるということが言いたいだけです。

アルミニウムは球体全体に質量が存在しますが、銅は中空なので質量がより
外側に存在し、慣性モーメントは大きいといえます。従って、転がりにくいので
これが摩擦力になって、転がる速度は落ちます。

簡単に言うと、フィギュアスケートのスピンです。
腕を外側に開くと回転速度は遅いですが、腕を内側によせると回転速度が
上がります。このモーメント移動を足でするのがビールマンスピンです。