f`(1)=f`(-1)=1 , f(1)=0, f(-1)=2

Question

上記の条件を満たす3次関数 f(x) を求める問題について質問をします。

f(x)= ax^3 +bx^2 + cx +d　(a≠0) とおいて、
与えられた数字をそれぞれ代入し、連立をさせれば答えを求めることができるのはわかっています。

しかし、より効率よく問題を解くためのテクニック的なものがあれば教えてほしいです。
（代入や連立の過程などで）

数学が得意な方など、よろしくお願いします。

ちなみに、この問題の答えを求めると、
f(x)=x^3 -2x +1
となりました。

noname#121794 · Accepted Answer

この場合はもっとあっさりと簡単にできる。
3次関数 f(x)の導関数f'(x)は2次関数で
しかもf'(x)はx=-1,1で対称性を持つからf'(x)の軸はx=0。
つまりf'(x)=ax^2＋b とおける。f'(-1)=f'(1)=1より
f'(x)=ax^2＋1-a
これを積分だ。するとf(x)=ax^3/3＋(1-a)x＋bとおいて f(1)=0, f(-1)=2
となるようa,bを定めるだけ。
どちらにしても連立方程式を用いずには解けないことには変わりないが、条件次第で
求めなくてはいけない値が少なくて済む。

178-tall · Answer

f(x)= ax^3 +bx^2 + cx +d　(a≠0) を偶 / 奇部分に分けて解く手がありそうですが…。
一般論は、かえって煩雑になるかも…。

機械的に解くには、連立させて答えを求めるほうが楽なのでしょうね。

この例に限れば、f の導関数が x=1, x=-1 にて偶、から b=0 だとわかります。
　　f'(x) = 3ax^2 + c
　　f(x)= ax^3 + cx + d　(a≠0)
あとは、「連立させて答えを求める」。

yurih · Answer

f`(1)=f`(-1)=1から、

f`(1)-1=f`(-1)-1=0

g(x):=f`(x) (これは二次式)　とおくと、

g(x)はx-1とx+1で割り切れるはずなので、g(x)=f`(x)-1=a(x-1)(x+1)=a(x^2-1)とおける。

これを積分してからf(x)に　f(1)=0, f(-1)=2　を代入すると楽かも。

momordica · Answer

未知数をできる限り減らして解くなら……、ちょっと説明は面倒なんですけど、
3次関数 y=f(x) のグラフ上の2点 (1, 0), (-1, 2) における傾きがちょうど同じであるなら、
その2点を結ぶ線分の中点 (0, 1) も必ずこの曲線上の点になります。
したがって、y=f(x) のグラフは、この3点を通る直線 y=-x+1 と　x=-1, 0, 1 の3点で交わるので、

f(x)-(-x+1)=a(x+1)x(x-1)　　（aは定数)
　∴　f(x)=a(x-1)x(x+1)-x+1
　∴　f '(x)=a{x(x-1)+(x+1)(x-1)+(x+1)x}-1
条件より、
　f '(1)=2a-1=1　∴　a=1

よって
　f(x)=(x+1)x(x-1)-x+1
　　　=x^3-2x+1

まあ、テストでこれ書いても点数はもらえそうにないですけどねぇ……

momordica · Answer

＃４です。
「説明は面倒」でごまかすのもやっぱり良くないかな、ということで補足。

実際そんなややこしい理屈でもありません。
ぶっちゃけ、ここで求めた中点 (0, 1) というのは、この3次関数のグラフの変曲点です。
３次関数のグラフは変曲点に関して対称なので、そのことを利用しています。
変曲点に関して対称な２点における接線の傾きが同じであり、またそれ以外に同じ傾きに
なる点がないことは、この関数の導関数が２次関数であることを考えれば明らかでしょう。
したがって、３次曲線のグラフ上の異なる２点における接線の傾きが同じなら、その２点は
このグラフの変曲点に関して対称であり、２点を結ぶ線分の中点が変曲点になります。

f`(1)=f`(-1)=1 , f(1)=0, f(-1)=2

f(x)= ax^3 +bx^2 + cx +d (a≠0) を偶 / 奇部分に分けて解く手がありそうですが…。

f`(1)=f`(-1)=1から、

この場合はもっとあっさりと簡単にできる。

未知数をできる限り減らして解くなら……、ちょっと説明は面倒なんですけど、

＃４です。

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