【数B】ベクトルの問題

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質問者：tamten
質問日時：2010/12/13 19:17
回答数：1件

四面体ＯＡＢＣにおいて、辺ＡＣの中点をＰ、線分ＰＢの中点をＱとし、
線分ＣＱの延長とＡＢとの交点をＲとする。

（１）↑OA＝a、↑OB＝b,↑OC＝cとするとき、↑OQを↑a,↑b,↑cを用いて表せ。
（２）ＡＲ：ＲＢの比およびＣＱ：ＱＲの比を求めよ。
（３）四面体ＯＢＱＲと四面体ＯＣＰＱの体積比を求めよ。

について、教えてください。よろしくお願いします！

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回答 (1件)

No.1ベストアンサー

回答者： Kules
回答日時：2010/12/13 19:58

(1)

中点のベクトルを表す公式を２回使えばそのまま出ると思います。

(2)
ベクトル方程式を使って解くのなら、
AR:RB=r:1-rとすると
OR=(1-r)OA+rOB
となります。一方RはCQの延長上にあるので、
OR=OC+kCQ
となります。それぞれをOA,OB,OCで表してがちゃがちゃ計算するとr,kが求まります（この辺りは教科書を見た方が早いと思います）

ただ、こんなことしなくてもメネラウスの定理（数Aの教科書に載ってると思います）２発で求まります。

(3)
体積比と聞くと難しそうですが、２つの四面体は高さが同じなので結局底面積の比を求めればよいです。
△ABCの面積をSとすれば、底辺の長さの比から△BQRと△CPQの面積をSで表すことができるので、その比が答えとなります。

参考になれば幸いです。