お願いします

下図の様に
円Ｏの外部の点Ｐからこの円に接線ＰＡ、ＰＢを引き、
線分ＡＢとＰＯの交点をＣとする。
また、ＰＯとＣで交わる弦ＤＥを引く。
このとき、４点Ｐ，Ｏ，Ｄ，Ｅは
１つの円周上にあることを証明せよ。

図がゆがんでますね、、、すみません

No.1 回答者： tmpname 回答日時： 2010/12/21 05:59

多少力技で出しました。

今、DEがABと一致する時は、POの中点をMとすると4点PDOEは
Mを中心とする半径OMの円上にあります。
又DEがOP上にある時は4点PDOEは一直線上であって、4点を通る
円は存在しません。

それ以外：
今、円Oの半径を単位長さとし、O(0,0) 角AOP=tとして
A(-cos t, sin t) B(-cos t, -sin t)とすると(0<t<π/2)
P(-1/cos t, 0) C(-cos t, 0)となります。
DEの傾きをkとすると（注：DEがy軸に平行な時はすでに議論してある、
またk=0でない）
直線DEの方程式はy=k(x+cos t)になります。
D(c,d) E(a,b)とし、DEの中点をFとすると、
OD, OEは円Oの半径であるからFはOからDEに下ろした垂線の
足になる為DEとOFは直交し、よって直線OFの方程式は
y=(-1/k) xとなります。
今OPの中点をMとするとM(-1/(2cos t), 0)なので、OPの垂直
2等分線Lの方程式はx=-1/(2cos t)となります。
これと直線OFとの交点Qは(-1/(2cos t), 1/(2k cos t))と
なります。この点QからP, O, D, Eまでの距離が全て等しいことを
言えば証明は終了します。

今、QはL上にあるのでOQ=PQ, またQはOF上にあるのでDQ=EQ。
よってOQ = EQを言えば良いです。
計算するとOQ = ((1 + k^2)^(1/2)) / (2|k| cos t)
又PQに関しては
a^2 + b^2 = 1, b = k(a+cos t)であった事に注目すると

EQ^2
= (a + (1/(2cos t))^2 + (b - 1/(2kcos t))^2
= (a^2 + b^2) + ( ((1/(2cos t))^2 + (1/(2kcos t))^2)
+ (a/cos t - b/(kcos t))
= 1 + OQ^2 + (a/cos t -k(a+ cos t)/(kcos t))
= OQ^2 よってEQ=OQ

以上より証明は終了しました。
初等幾何のみを使った証明があるかもしれませんが...

No.2 ベストアンサー 回答者： tmpname 回答日時： 2010/12/21 06:16

> 又PQに関しては

> a^2 + b^2 = 1, b = k(a+cos t)であった事に注目すると
又EQに関してはです