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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
#1への「補足」に対して
ごめんなさい。π/4 が正解です。
I = ∫F・dS = ∫∇・F dV
∇・F = ∂(x z)/∂x + ∂(x y z^2)/∂y + ∂(y z)/∂z
= z + x z^2 + y
I = ∫∫∫(z + x z^2 + y) dx dy dz
x z^2 と y はそれぞれ x と y について奇関数なので、いまの場合、それらの積分は 0。
z を円柱座標で積分すると、
I =∫∫∫ z dx dy dz
= ∫∫∫ z r dr dθ dz
= ∫(∫(∫dθ) r dr) z dz
= ∫(∫(θ[0→2π]) r dr) z dz
= ∫(∫2πr dr) z dz
= π∫([r^2][0→z]) z dz
= π∫z^2 z dz
= π∫z^3 dz
= π[z^4 / 4][0→1]
= π/4。
あるいは
I =∫∫∫ z dx dy dz
= ∫z (∫∫dx dy) dz
= ∫z (πz^2) dz
= π∫z^3 dz
= π[z^4 / 4][0→1]
= π/4。
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