高１数学 平面図形の証明です。

三角形AＢCの内接円の中心をO1、この内接円と辺AＢ、AC、ＢCとの接点をそれぞれp1、p2、p3とする。
また、辺AＢをＢの方向に伸ばした延長線、辺ACをCの方向に伸ばした延長線、および辺ＢCと接する三角形AＢCの傍接円の中心をO2とし、この傍接円と辺AＢの延長線、辺ACの延長線、辺ＢCとの接点をそれぞれq1、q2、q3、とする。
このとき、Ｂp3+Ｂq3=Cp3+Cq3であることを示しなさい。

この問題がわかる方、教えてください！
解説が載っていないので困っています。
よろしくお願いしますm(__)m

No.2 ベストアンサー 回答者： soranin21 回答日時： 2011/07/12 12:27

まず円とその接線でできる図形について考えると、Ap1＝Ap2となります。

これは三角形AO1p1とAO1ｐ２の合同から言えます。
同様にBp1=Bp3、Bq1=Bq3・・・・と同じ長さの線分が多数あることがわかります
これらの等式から与式を変形することにします
左辺＝Bp1+Bq1=ｐ１ｑ１
右辺＝Cp2+Cq2＝p2q2

Aq1=Aq2、Ap1=Ap2なので

左辺＝p1q1＝Aq1-Ap1＝Aq2-Ap2＝p2q2＝右辺となり証明終了です

この回答へのお礼

理解できました。
ありがとうございます！

お礼日時：2011/07/12 18:47

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/07/12 03:53

ヒントだけ。

わざわざp1,p2,q1,q2と名前をつけてくれているのでそれを使うと推察できます。
(証明する式には一切使用しない点に名前をつけるなんてヒントとしか思えない)

実際に書いてみて内接円、傍接円の特徴を考えてみるとBp3.Bq3,Cp3,Cq3と等しい長さを持つ部分がわかると思います。すると、Bp3+Bq3,Cp3+Cq3がそれぞれ一つの線分と等しい長さを持つことがわかるでしょう。

その二つの線分の長さが等しいことを示すためには、その線分を部分として含む線分に注目すればわかるのではないでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
解決しました。

お礼日時：2011/07/12 13:30