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以下の問題「解析力学」の試験で出ました。解き直しをしているのですが、導出過程と解答が分かりません。
お手数をおかけしますが、教えていただけないでしょうか。お願いします。

**********************************
母関数
W(q,Q) = aq^2cot(bQ)
によって正準変数q,pから新しい正準変数Q,Pに正準変換したとき、新しい正準運動量Pが1次元調和振動子のエネルギー(Hamiltonian)
H = p^2/2m + mω^2q^2/2
となるように、パラメーターa,bの値を定めよ。また、正準変数Qの物理的意味を述べよ。

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A 回答 (1件)

W(q,Q) = a q^2 cot(b Q)


が母関数なので,
p = ∂W/∂q = 2a q cot(b Q), …(1)
P = -∂W/∂Q = a b q^2 /sin^2(b Q). …(2)

(2)より
q^2 = {P/(a b)} sin^2(b Q). …(2)'

(1)より
p^2
= 4a^2 q^2 cot^2(b Q)
= (4a/b) P cos^2(b Q) (∵(2)'). …(1)'

(1)',(2)'を使ってHをP,Qで表すと,

H = {2a/(m b)} P cos^2(b Q) + {m ω^2 /(2a b)} P sin^2(b Q).

これがPと一致するのであるから,

2a/(m b) = 1, …(3)
m ω^2 /(2a b) = 1. …(4)

(3)×(4)より
b = ±ω.

このとき(3)より
a = m b/2 = ±m ω/2. (複号同順)

このとき,
W(q,Q) = (±m ω/2) q^2 cot(±ω Q) = (m ω/2) q^2 cot(ω Q). (複号同順)
なので,複号のどちらを選んでもWの形は変わらない.そこで,一般性を失うことなく
a = m ω/2,
b = ω
としてよい.

で,(1)より
p = m ω q cot(ω Q)
tan(ω Q) = m ω q/p
Q = arctan(m ω q/p) /ω. …(5)

この力学系の一般解は
q = A sin{ω(t - to)},
p = m ω A cos{ω(t - to)}
なので(A,toは初期条件によって決まる定数),これらを(5)に代入すると,
Q = arctan(tan{ω(t - to)}) /ω = t - to.

すなわち,Qは調和振動子の位相が0となる時刻(to)からの経過時間を表す.
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この回答へのお礼

丁寧な回答をありがとうございます!!
大いに参考とさせていただきます。

お礼日時:2011/08/21 00:23

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Q導体球殻の電位

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方法に自信がありません。

(3)の時、

V=-∫(∞→r)E・dr = (q/4πε_0)・(1/r)

(2)の時、
V=-∫(∞→b)E・dr -∫(b→r)0・dr = (q/4πε_0)・(1/b)

(1)の時、

V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

(1)の答えが解答では(q/4πε_0)(1/r)
ではなく
(q/4πε_0)((1/b)+(1/r)-(1/a))
となっていました。

なぜなのでしょうか。

ご教授お願い申し上げます。

内半径a 外半径b の導体球殻の中心に電気量q(>0)の点電荷を置くとき
各点における電位の分布を求めよ。無限遠方をV=0とする。

という問題で

まず、ガウスの法則を用いて電場をもとめて、そこから距離の積分をしてVを求めようとしました。


まず、境界は次の三つであっていますでしょうか。

(1)0<r<aの時(2)a≦r<b(3)B≦r

そして各場合の電場は

(1)の時、∫ε_0EdS=q より
E= q/4πr^2ε_0
(2)の時、
導体の内部なので電場E=0
(3)の時∫ε_0Eds=q
E=q/4πr^2ε_0

ここで電位を求める場合の方法ですが境界の値と計算方...続きを読む

Aベストアンサー

考え方も計算も、ほぼオッケーですよ。
(1)のときの電位ですが
V= -∫(∞→b)E・dr -∫(b→a)E・dr - ∫(a→r)E・dr = (q/4πε_0)(1/r)

真ん中の(b→a)の積分のときは、上で書かれているように E=0 なので
積分も0です。
ですから
V=(q/4πε0)( (1/b) - (1/∞) + (1/r) - (1/a) )
になりますね。


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