「x^2+y^2=1のとき、x+2yの最大値と最小値を求めよ」
この問題が解けません。解き方をご存じの方よろしくお願いいたします。m(_ _)m

A 回答 (1件)

(1)  x^2+y^2=1


は半径1の円周.
x+2y=a とおけば,これは直線
(2)  y=-(x/2)+(a/2)
ですから,(1)(2)が共有点を持つようなaの値の範囲を求めれば解決.
円の接線(傾き -1/2 ですね)を考えてもいいし,
(2)を(1)に代入して実根条件を考えてもOK.
あとはご自分でどうぞ.

もっと一般的な方法として,ラグランジュの未定係数法があります.
こちらは,大学の理工系レベルの話です.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=58626
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=28887
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=45154
をご覧下さい.
    • good
    • 1
この回答へのお礼

ありがとうございました。ためになりました。

お礼日時:2001/04/30 09:57

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p=10-kの時(k=10-pの時)
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で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
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となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
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 解)t=x^2-2xy+2y^2-4x+2y+8 とおき、Xについて整理すると、
    =…={x-(y+2)}^2+y^2-2y+4 
  
  これより、tは、x=y+2 のとき、最小値y^2-2y+4 をとる。

  ここで、g(y)=y^2-2y+4 とおくと、
     
    (省略)

と、この後は、g(y)=y^2-2y+4 を平方完成し、最小値を求めていきますが、このtの式の最小値が、
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と、この後は、g(y)=y^2-2y+4 を平方完成し、最小値を求めていきますが、このtの式の最小値が、
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  ここでは 2y=x-k として xを消去します。
   x^2+x(x-k)+(x-k)^2=9
  ⇔3x^2-3kx+k^2-9=0  ・・・・★

2) 「x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題」は
  「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つときのkの最大値・最小値を求める問題」
と同じです。
  ですので、1)で得たxの2次方程式が実数解をもつことが「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つこと」と同値です。
  従って、2次方程式★の判別式から
   9k^2-12(k^2-9)≧0
  ⇔k^2≦36
  ∴-6≦k≦6
となります。
 ここから 最大値 6、最小値-6を得ます。

3) 最大・最小となるx、yの値を求めます。
  k=±6 のとき 式★の2次方程式は (x干3)^2=0 となりますので、その解は x=±3 となります。(複号同順)
 また、yの値は k=±6, x=±3 のとき y=(x-k)/2=±(3-6)/2=干3/2 となります。(複号同順)

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1) x-2y=k とおき、x^2+2xy+4y^2=9 に代入して、xまたはyを消去します。
  ここでは 2y=x-k として xを消去します。
   x^2+x(x-k)+(x-k)^2=9
  ⇔3x^2-3kx+k^2-9=0  ・・・・★

2) 「x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題」は
  「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つときのkの最大値・最小値を求める問題」
と同じです。
  ですので、1)で得たxの2次方程式が実数解をもつことが「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つこと」と同値です。...続きを読む

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pは2でない素数なので,
  xまたはyはpで割り切れる
ことになり,x+yがpで割り切れることにより,
結局xもyもpで割り切れることになります。
したがって,x^2+y^2はp^2で割り切れます。

証明の本質は,(ユークリッドの)互除法です。


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