高１数学 （サインなどの図形編）

進研模試の過去問です。１問でもいいのでわかる方は解説願います。

Q１　AB＝２、AC＝１、角A＝120の△ABCがある。辺AB上にCD＝√３となるような点Dを取り、
点Dの直線BCに関する対称点をEとするとき、cos角ABEの値はいくらか？


Q２　AB＝７、BC＝５、CA＝４の△ABCがあり、辺AB上に角ACD＝90度となるような点Dがある。

（１）　ADの長さはいくらか？
（２）　△BCDの外接円の半径はいくらか？
（３）　（２）で、円の中心をOとするとき、四角形OBDCの面積はいくらか？


ちなみに、Q１の答えは１１／１４　　Q２（１）が２８／５　　（２）が７／２　（３）が３３√６／１０
でした。
この答えの導き方をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/09/19 14:46

>この答えの導き方をお願いします。

Q1.
余弦定理を△ABCに適用
　BC^2=2^2+1^2-2*2*1*cos120°　→　BC=√7
cosB=(2^2+7-1^2)/(2*2√7)=(5√7)/14
∠ABE=2∠Bより
　cos∠ABE=cos(2B)=2cos^2(B)-1=11/14

Q2.
(1)
余弦定理を△ABCに適用
cosA=(7^2+4^2-5^2)/(2*7*4)=5/7
AD=AC/cosA=4/cosA=28/5

(2)
sinA=√(1-(cosA)^2)=(2√6)/7,tanA=sinA/cosA=(2√6)/5
△ABCに余弦定理を適用
cosB=(7^2+5^2-4^2)/(2*7*5)=29/35
sinB=√(1-(cosB)^2)=8√6/35
△BCDに正弦定理適用
2R=CD/sinB=AC*tanA/sinB=4tanA/sinB
R=2((2√6)/5)/(8√6/35)=7/2

(3)
図を描いて下さい。

余弦定理を△ABCに適用
cosC=(4^2+5^2-7^2)/(2*4*5)=-1/5,
sinC=√(1-(cosC)^2)=(2√6)/5

円周角と中心角の関係を使うと
S=(R^2)sinBcosB+(R^2)sin(C-90°)cos(C-90°)
=((7/2)^2)(sinBcosB-cosCsinC)=(33√6)/10

[ポイント]写すだけでは意味がありません。
三角関数の基本式、正弦定理、余弦定理、円周角の性質を使えば出来る問題です。教科書、参考書を復習して使いこなせるようにしておいて下さい。