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 N個の1次元調和振動子のハミルトニアンHは

H=Σ〔i=1~N〕{p〔i〕^2/2m+m(ω^2)(q〔i〕^2)/2}

の時、被積分関数の球対称性から次式を示そうと思っています。

 Ω(E)={(2π/ω)^N}{E^(N-1)/Γ(N)}

ですが、等式

(d^2N)z={2π^(N)/Γ(N)}r^(2N-1)dr

を何処かで用いるとしか分かりません。
 誠に恐縮で御座いますが、どなたか御回答を宜しく御願い申し上げます。

A 回答 (2件)

前問の回答より


 z〔i〕=p〔i〕/(2mE)^(1/2)、
 z〔i+N〕=q〔i〕/(2E/mω^2)^(1/2)

とすると

Ω(E) ={(2mE)^(N/2)/E}(2E/mω^2)^(N/2)
  ×∫(d^2N)zδ{1-Σ[i=1~2N]z〔i〕^2}
 = (2E/ω)^N /E
  ×∫(d^2N)zδ{1-Σ[i=1~2N]z〔i〕^2}
2N次元球座標を用いて(d^2N)z={2π^(N)/Γ(N)}r^(2N-1)dr とすると
 ∫(d^2N)zδ{1-Σ[i=1~2N]z〔i〕^2}
 = {2π^(N)/Γ(N)}∫r^(2N-1)δ(1 - r^2)dr
ここで
 δ(f(x)) = Σδ(xi)/|f'(xi)| (xiはf(x)の零点)
という公式を使うと∫r^(2N-1)δ(1 - r^2)dr = (1/2)
となるから
 Ω(E) ={(2π/ω)^N}{(2E)^(N-1)/Γ(N)}
ではないでしょうか。
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この回答へのお礼

御回答どうもありがとう御座いました。
無事解決致しました。

お礼日時:2004/01/15 23:11

下の回答で


 δ(f(x)) = Σδ(xi)/|f'(xi)| (xiはf(x)の零点)

 δ(f(x)) = Σδ(x-xi)/|f'(xi)| (xiはf(x)の零点)
に訂正させて頂きます。
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この回答へのお礼

御回答どうもありがとう御座いました。
無事解決致しました。

お礼日時:2004/01/15 23:11

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