線型代数の問題です。
全然手がつけられないので助けてほしいです(^^;)
次のV=Mn,n(R)の部分空間の次元と基底を求めよ。
(1)W1={A=(aij)∈V|i>jのときaij=0}(上半三角行列の全体)
(2)W2={A∈V|tA=A}
(対称行列の全体)
(3)W3={A∈V|tA=-A}(交代行列の全体)
(4)W1∩W2,W1+W2
(5)W2∩W3,W2+W3
答えは
(1){Eij|i<j}が基底 dimW1=1/2(n^2+n)
(2){Eij+Eji|i≦j}が基底 dimW2=1/2(n^2+n)
(3){Eij-Eji|i<j}が基底 dimW3=1/2(n^2-n)
(4)(5)は書いてないので分からなかったです...
お願いします!!
A 回答 (3件)
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No.2
- 回答日時:
ちゃんとした細部はともかく、大雑把な話、
自由に決められる係数が何個あるか…が、次元。
例えば、上三角行列なら、
上三角成分は好きに決めることができて、
その他の成分は 0 と決められている。
n 次であれば、上三角成分は n(n+1)/2 個。
それらを n(n+1)/2 個の変数で置いて
表した上三角行列を、その変数を係数とする
一次結合に展開して書けば、自ずと基底が現れる。
次元の話は理解できました。
ありがとうございます(TT)
>n 次であれば、上三角成分は n(n+1)/2 個。
>それらを n(n+1)/2 個の変数で置いて
>表した上三角行列を、その変数を係数とする
>一次結合に展開して書けば、自ずと基底が現れる。
これについては実際どのように示せばいいか分かりません...。
No.3
- 回答日時:
大雑把流で、具体的に基底らしきものを得たら、
後は、基底の定義にしたがって、形式的に
それが基底であることを示せばよいです。
部分空間を生成し、かつ、一次独立なことをです。
一組の基底が得られてしまえば、
基底ベクトルの個数が、次元です。
最初に大雑把流で考えたことは、
答案上は、ナイショ。
No.4
- 回答日時:
←A No.2 補足
例えば、n=2 のとき、上三角行列 M は
M =
a b
0 c
これを a,b,c を係数に持つ線型結合で書けば、
M = a A + b B + c C.
ただし
A =
1 0
0 0
B =
0 1
0 0
C =
0 0
0 1
A,B,C 等にもう少し組織的な名前付けをすれば、
一般の n についても書き下すことができるはず。
やってみてください。
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