No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ベクトル空間が同型とはどういう意味か、
テストも近いのであれば、
教科書でちゃんと確認しておくべきです。
書いてない教科書があるとは思えません。
ベクトル空間 V と W が同型であるとは、
V から W への全単射線型写像が存在する
という意味です。
V, W が、体 K 上の n 次元空間であるとし、
V の基底 { a1,a2,…,an } と
W の基底 { b1,b2,…,bn } をとります。
{ a1,a2,…,an } が基底であることから、
V の元は、x1 a1 + x2 a2 + … + xn an
(ただし x1,x2,…,xn∈K) と一意に表せます。
各 aj を bj へ移す線型写像 f を考えると、
f(x1 a1 + x2 a2 + … + xn an) = x1 b1 + x2 b2 + … + xn bn
によって、f は V から W へ well-defined であり、
全単射線型写像であることも確認できます。
つまり、基礎体と次元が同じ線型空間は
同型であることが解りました。
特に、W として数対空間 K^n を考えれば、
K 上 n 次のベクトルは、K の元 n 個の組
で表示可能なことが解ります。
ベクトルの成分表示というやつです。
x1 a1 + x2 a2 + … + xn an と
x1 b1 + x2 b2 + … + xn bn と
(x1, x2, …, xn) とを、
単に基底ベクトルの名前を付け替えたものとして
同一視しよう…というのが、ベクトル空間の同型
の考えかたです。
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